3.1.3 导数的几何意义教案评析

开平市开侨中学高二理科数学导学提纲

选修2-2 第一章1.1.3 1.1.3导数的几何意义导学提纲

编制人：江书军

【学习要求】

1．了解导函数的概念，理解导数的几何意义．

2．会求导函数．

3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．

【学法指导】

前面通过导数的定义已体会到其中蕴涵的逼近思想，本节再利用数形结合思想进一步直观感受这种思想，并进一步体会另一种重要思想——以直代曲. 【知识要点】

1．导数的几何意义

（1）割线斜率与切线斜率

设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx)) Δy的一条割线，此割线的斜率是＝__________________. Δx当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的

．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋向于在点A的切线AD的斜率k，即k＝

＝___________________. （2）导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的

．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是

．相应地，切线方程为_______________________．

2．函数的导数

当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f(x)是x的一个函数，称f(x)是f(x)的导函数(简称导数)．f(x)也记作y′，即f(x)＝y′＝_______________

【问题探究】

探究点一

导数的几何意义

问题1

如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？

问题2

曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？

例1

如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况．

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选修2-2 第一章1.1.3 跟踪训练1

（1）根据例1的图象，描述函数h(t)在t3和t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况．

（2）若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是

(

) 探究点二

求切线的方程

问题1

怎样求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？

问题2

曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？

例2

已知曲线y＝x2，求：

（1）曲线在点P(1,1)处的切线方程；

（2）曲线过点P(3,5)的切线方程．

跟踪训练2

已知曲线y＝2x2－7，求：

（1）曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?

（2）曲线过点P(3,9)的切线方程．

【当堂检测】

1．已知曲线f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为

(

) A．4

B．16

C．8

D．2 2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则

(

) A．a＝1，b＝1

B．a＝－1，b＝1

C．a＝1，b＝－1

D．a＝－1，b＝－1 3．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为_______ 【课堂小结】

1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝lim

Δx→0fx0＋Δx－fx0＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．

Δx2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．

3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.

【拓展提高】

，f(1))处的切线方程是y1．已知函数yf(x)的图象在点M(11x2，则2f(1)f(1)

2．设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为0，，则点P横坐标的取值范围为 4【教学反思】