第四章 圆与方程（通用）教案和课堂实录

4.1.1《圆的标准方程》教学设计

授课教师：吴启霞

教材分析：教学内容所处的地位和作用：《圆的标准方程》选自新课标人教版高中数学必修2第四章第一节的内容。圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用。圆的标注方程是刻画圆的位置（圆心）和大小（半径）的代数表示，本节紧扣直线方程的研究方法，结合初中圆的定义，确定圆就是确定圆的圆心位置和半径，在此基础是那个类比球直线方程的方法探求圆的标准方程。对于圆的标准方程的学习经历五个层次：一是圆的几何认识，主要是初中平面几何中圆的定义：到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的轨迹。而是圆的定义中几何关系的代数化，类比求直线方程的方法求圆的标准方程，主要步骤如下：（1）建立平面直角坐标系，设点（圆心坐标A(a,b)和圆上的动点P(x,y)）。（2）几何关系代数，根据圆的定义PAr,用坐标表示圆的方程(xa)2ybr。（3）化简2方程为(xa)2(yb)2r2。（4）必要性检验，说明以方程(xa)2ybr的解为坐2标的点都在以A(a,b)为圆心，半径为r的圆上。三是认识圆的标准方程，坐标系内以A(a,b)为圆心，半径为r的圆圆的方程(xa)2(yb)2r2，做得圆心和半径科研写出圆的标准方程，反正，有了圆的标准方程，就科研知道其圆心和半径。四是利用圆的标准方程解决一些简单问题，求圆的标准方程和判断点与圆的位置关系。五是通过圆的标准方程研究圆的性质。圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，承接前面直线与方程的内容，同时对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习在知识上以及在方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的重要作用。

一、教学目标：

知识与技能目标：掌握圆的标准方程，能判断点与圆的位置关系，会求圆的标准方程。

过程与方法目标：培养学生用代数方法研究几何问题的能力，加深对数形结合思想的理解，增强学生用数学的意识。

情感与价值观目标：通过利用已学知识学会分析、解决问题，品尝成功的喜悦，增强学生学习数学的兴趣，并激发学生学习数学的自信心。

二、教学重点与难点

教学重点：坐标法求圆的标准方程。

教学难点：圆的标准方程的建立和正确认识，在给定条件下求圆的标准方程的一般方法（待定系数法和几何法）

三、教学方法与手段

教学方法：启发式教学、小组合作探究式学习。

教学手段：多媒体教学，用到计算机、投影硬件工具及PowerPoint等软件工具，利用尺规作图。

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四、教学过程

圆的标准方程的推导

点与圆的位置关系的探究

创设情境，导出课题

启发引导，形成新知

五、教学情景设计

情景设计

1．思考：

结

课

求圆的标准方程

实例探究，归纳结论

典型例题，强化应用

课堂练习，拓展思维

课堂小结，提高认识

布置作业，独立探究

设计意图

师生活动

图片引起学生的展示生活中的圆的图片，由认识生欣赏几幅图片，如何确定一个圆呢？

学习兴趣，思考活中的圆引导学生学习几何中的让学生回顾圆的圆。

要素以及定义。

(创设问题情境，激发学生的学习动机)→（建立知识链接，引导学生领会圆的概念）

2．思考：

知识迁移，根据教师提出直线可用方程表示，那么在平面直角坐标系中，尝试推导出圆圆的定义推导出圆是否可用方程来表示，学生以小的方程？

圆的标准方程。

组为单位进行思考讨论，完成圆的(提炼概念本质，帮助学生掌握圆的概念) 标准方程的推导。

2

3．得到圆的标准方程

即学即练：

根据圆的标准方教师引导学生小结圆的标准方程程可得出圆心跟与圆的圆心跟半径的关系，

(1) 方程为(x +7)2

+(y -4)2

= 36 的半径，根据圆心以及得出当圆心在原点上时圆的圆，它的圆心为_______，半径为半径可写出圆的标准方程。

r=_____.(2) 圆心在原点,半径为3标准方程。

的圆的方程为_____________。

4．点与圆的位置关系：

例1：写出圆心为A(2,3)半径长等于5的圆的方程，并判断点通过计算验证得学生通过计算验证得到：点M1在出点M1在圆上，圆上，点M2不在圆上，教师紧扣点M2不在圆上,学生的回答，进一步提出问题：点M1(5,7),M2(3,1)是否在这个圆上。

5．探究：

从而引出问题点M2会在哪里？引出探究。

M2会在哪里（与圆的位置关系）

根据点与圆的距让学生以小组为单位进行讨论探点M0(x0,y0)在圆x2y2r2内的条离与圆的半径进究，并展示探究过程，教师加以整件是什么？在圆xyr外呢？

222行对比来判断点理和点评，同时将特殊推广到一与圆的位置关系。（通过学生互动，自我检测掌握情况）

般，对于点M0(x0,y0)与圆（xa)2(yb)2r2（圆心为A）的位置关系结论同样成立。

6．求圆的标准方程：

根据所给的条

例2 ∆ABC的三个顶点的坐标分别是件，确定圆心与学生以小组为单位思考讨论完成，A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外半径，从而求出并到黑板上展示，另两小组负责点接圆的方程.

圆的标准方程。

评，然后教师点评，得出求圆的标（及时反馈信准方程的方法：待定系数法。并分息，激励学生学析这种解法的自思路与特点。

习兴趣）

7.巩固练习：

根据所给出的不

已知的△AOB顶点的坐标分别是同的条件求出圆

A(8,0), B(0,6)，O(0,0)，它的外接的标准方程。

3 学生自己完成，请一位同学回答，

圆的方程为（ ）．

A.(x - 3)

+(y - 4) = 25 B.(x + 3)+(y - 4) = 25 C.(x - 4) +(y - 3) = 25 D.(x + 4) +(y + 3) = 25

22222 222（挖掘习题功教师简单点评，强调求圆的标准方能，培养解决问程的方法。

题能力）

例3 已知圆心为C的圆经过点根据所给的条学生以小组为单位思考讨论完成，A(1,1)和B(2,-2)且圆心C在直线l: 件，确定圆心与并到黑板上展示，另两小组负责点x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准半径，从而求出评，然后教师点评，得出求圆的标方程。

圆的标准方程。

准方程的方法：待定系数法与几何法，并分析两种解法的各自思路与特点。

8．课堂小结：

（1）圆的标准方程

（2）点与圆的位置关系

（3）求圆的标准方程的方法：

①待定系数法

②几何法

9.作业布置：

(1)课本页A组2、3题

巩固圆的标准方学生课后完成. 程的知识，深化总结整理，提高师生完成小结．

认识。

(2)课后思考题：已知一个圆的圆心根据所给出不同在点(2,-1),且截直线y=x-1所得弦的条件来求出圆长为22，求该圆的标准方程。

的标准方程。

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