习题2.3教学实录与评析

第二章综合素能检测

时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于(

) A．30°

C．60°

[答案]

D [解析]

由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°. 2．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l(

) A．平行

C．垂直

[答案]

C [解析]

1°直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错；

2°l⊂α时，在α内不存在直线与l异面，∴D错；

3°l∥α时，在α内不存在直线与l相交．

无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．

3．下列命题中，错误的是(

) A．一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交

B．平行于同一平面的两个不同平面平行

C．若直线l不平行于平面α，则在平面α内不存在与l平行的直线

D．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

[答案]

C [解析]

直线l不平行于平面α，可能直线l在平面α内，此时，在平面α内存在与l平行的直线．

4．已知α、β是两个平面，直线l⊄α，l⊄β，若以①l⊥α；②l∥β；③α⊥β中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有(

) A．①③⇒②；①②⇒③

C．①②⇒③；②③⇒①

[答案]

A [解析]

因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m，使m⊥α，

又因为l⊥α，所以l∥m.又因为l⊄β，所以l∥β，即①③⇒②；

因为l∥β，所以过l可作一平面γ∩β＝n，所以l∥n，

B．①③⇒②；②③⇒①

D．①③⇒②；①②⇒③；②③⇒①

B．相交

D．异面

B．45°

D．90°

又因为l⊥α，所以n⊥α，

又因为n⊂β，所以α⊥β，即①②⇒③. 5．对于两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得(

) A．a⊂α，b⊂α

C．a⊥α，b⊥α

[答案]

B [解析]

因为已知两条不相交的空间直线a和b.所以可以在直线a上任取一点A，则A∉b.过A作直线c∥b，则过a，c必存在平面α且使得a⊂α，b∥α. 6．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有(

) A．1条

B．2条B．a⊂α，b∥α

D．a⊂α，b⊥α

C．3条

[答案]

B [解析]

如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC＝∠ACB＝30°且BC∥l时，直线AC，AB都满足条件，故选B．

D．4条

7．如图，A是平面BCD外一点，E、F、G分别是BD、DC、CA的中点，设过这三点的平面为α，则在图中的6条直线AB、AC、AD、BC、CD、DB中，与平面α平行的直线有(

)

A．0条

C．2条

B．1条

D．3条

[答案]

C [解析]

显然AB与平面α相交，且交点是AB中点，AB，AC，DB，DC四条直线均与平面α相交．在△BCD中，由已知得EF∥BC，又EF⊂α，BC⊄α，∴BC∥α.同理，AD∥α，∴在题图中的6条直线中，与平面α平行的直线有2条，故选C．

8．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心O，则AB1与底面ABC所成角的正弦值为(

) 1A．

3C．3

3B．2

32D．

3[答案]

B [解析]

由题意知三棱锥A1－ABC为正四面体，设棱长为a，则AB1＝3a，

棱柱的高A1O＝A1A2－AO2＝236a2－×a2＝a(即点B1到底面ABC的距离)，故323A1O2AB1与底面ABC所成角的正弦值为＝. AB139．等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为(

) A．30°

C．90°

[答案]

C [解析]

如图，由A′B＝BC＝1，∠A′BC＝90°知A′C＝2. B．60°

D．120°

∵M为A′C的中点，∴MC＝AM＝2，且CM⊥BM，AM⊥BM，

2∴∠CMA为二面角C－BM－A的平面角．

∵AC＝1，MC＝MA＝2，∴MC2＋MA2＝AC2，

2∴∠CMA＝90°，故选C．

10．如图，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，A，B到l的距离分别是a和b，AB与α，β所成的角分别是θ和φ，AB在α，β内的射影长分别是m和n，若a＞b，则(

)

A．θ＞φ，m＞n

C．θ＜φ，m＜n

[答案]

D [解析]

由勾股定理得a2＋n2＝b2＋m2＝AB2. 又a＞b，∴m＞n. ba由已知得sinθ＝，sinφ＝，而a＞b，

ABAB∴sinθ＜sinφ，

π又θ，φ∈(0，)，∴θ＜φ. 211．如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E，F，H，K分别为AC′，CB′，A′B，B′C′的中点，G为△ABC的重心，从K，H，G，B′中取一点作为P，使得该三棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则点P为(

) B．θ＞φ，m＜n

D．θ＜φ，m＞n

A．K

C．G

[答案]

C [解析]

应用验证法：选G点为P时，EF∥A′B′且EF∥AB，此时恰有A′B′和AB平行于平面PEF，故选C．

12．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是(

) B．H

D．B′

A．平面ABD⊥平面ABC C．平面ABC⊥平面BDC B．平面ADC⊥平面BDC

D．平面ADC⊥平面ABC

[答案]

D [解析]

由平面图形易知∠BDC＝90°.∵平面ABD⊥平面BCD，CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD．∴CD⊥AB．又AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ADC．又AB⊂平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC．

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．直线l与平面α所成角为30°，l∩α＝A，m⊂α，A∉m，则m与l所成角的取值范围是________. [答案]

[30°，90°] [解析]

直线l与平面α所成的30°的角为m与l所成角的最小值，当m在α内适当旋转就可以得到l⊥m，即m与l所成角的最大值为90°. 14．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN等于________.

[答案]

90°

[解析]

因为C1B1⊥平面ABB1A1，MN⊂平面ABB1A1，所以C1B1⊥MN. 又因为MN⊥MB1，MB1，C1B1⊂平面C1MB1，MB1∩C1B1＝B1，所以MN⊥平面C1MB1，

所以MN⊥C1M，所以∠C1MN＝90°. 15．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可)．

[答案]

DM⊥PC(或BM⊥PC) [解析]

连接AC，则BD⊥AC，由PA⊥底面ABCD，可知BD⊥PA，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．故当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，平面MBD⊥平面PCD．

16．(2013·高考安徽卷)如图正方体ABCD－A1B1C1D1，棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC1上的动点，过A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是________.(写出所有正确命题的编号)

1①当0

21②当CQ＝时，S为等腰梯形

231③当CQ＝时，S与C1D1交点R满足C1R1＝

433④当

4⑤当CQ＝1时，S的面积为[答案]

①②③⑤

[解析]

设截面与DD1相交于T，则AT∥PQ，且AT＝2PQ⇒DT＝2CQ. 1对于①，当0

21对于②，当CQ＝时，DT＝1，T与D重合，截面S为四边形APQD1，所以AP＝D1Q，2截面为等腰梯形，所以为真．

31311对于③，当CQ＝，QC1＝，DT＝，D1T＝，利用三角形相似解得，C1R1＝，所以44223为真．

33对于④，当

对于⑤，当CQ＝1时，Q与C1重合，截面S与线段A1D1相交于中点G，即即为菱形APC1G，对角线长度为2和3，S的面积为6，所以为真，综上，选①②③⑤. 26. 2三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2014·全国高考江苏卷)如图，在三棱锥P－ABC中，D、E、F分别为棱PC、AC、AB的中点，已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5. 求证：(1)直线PA∥面DEF；

(2)平面BDE⊥平面ABC．

[证明]

(1)在△PAC中，D、E分别为PC、AC中点，

则PA∥DE，PA⊄面DEF，DE⊂面DEF，

因此PA∥面DEF. 11(2)△DEF中，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4，DF＝5，

22∴DF2＝DE2＋EF2，∴DE⊥EF，

又PA⊥AC，∴DE⊥AC．

∴DE⊥面ABC，∴面BDE⊥面ABC．

18．(本小题满分12分)如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．

(1)求证：AC⊥BC1；

(2)求证：AC1∥平面CDB1；

(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．

[解析]

(1)证明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC．

又∵C1C⊥AC．∴AC⊥平面BCC1B1. ∵BC1⊂平面BCC1B，∴AC⊥BC1. (2)证明：设CB1与C1B的交点为E，连接DE，又四边形BCC1B1为正方形．

∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1. ∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1. (3)解：∵DE∥AC1，

∴∠CED为AC1与B1C所成的角．

15在△CED中，ED＝AC1＝，

22151CD＝AB＝，CE＝CB1＝22，

222

∴cos∠CED＝222＝. 55222∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为. 519．(本小题满分12分)(2013·四川·文科)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1＝2，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．

(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面

A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；

1(2)设(1)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1－QC1D的体积．(锥体体积公式：V＝Sh，3其中S为底面面积，h为高) [解析]

(1)在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行．

理由如下：

由于直线l不在平面A1BC内，l∥BC，

故直线l与平面A1BC平行．

在△ABC中，∵AB＝AC，D是线段AC的中点，

∴AD⊥BC，∴l⊥AD．

又∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥l. 而AA1∩AD＝A，∴直线l⊥平面ADD1A1. (2)过点D作DE⊥AC于点E. ∵侧棱AA1⊥底面ABC，∴三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，

则易得DE⊥平面AA1C1C．

在Rt△ACD中，∵AC＝2，∠CAD＝60°，

∴AD＝AC·cos60°＝1，

∴DE＝AD·sin60°＝3. 211∴S△QA1C1＝·A1C1·AA1＝×2×1＝1，

22113∴三棱锥A1－QC1D的体积VA1－QC1D＝VD－QA1C1＝·S△QA1C1·DE＝×1×＝3323. 6

20．(本小题满分12分)如下图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．

(1)证明：CD⊥平面PAE；

(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．

[解析]

(1)证明：如下图所示，连接AC，由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，得AC＝5.

又AD＝5，E是CD的中点，所以CD⊥AE. ∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．

而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE. (2)过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于F，G，连接PF. 由(1)CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE.于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE. 由PA⊥平面ABCD知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角．

由题意，知∠PBA＝∠BPF，

PABF因为sin∠PBA＝，sin∠BPF＝，所以PA＝BF. PBPB由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC，又BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形，故GD＝BC＝3.于是AG＝2. 在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以

AB2168585BG＝AB＋AG＝25，BF＝＝＝.于是PA＝BF＝. BG2555221又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P－ABCD的体积为

2

11851285V＝×S×PA＝×16×＝. 3351521．(2015·安徽卷)如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，

(1)求三棱锥P－ABC的体积；

PM(2)证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．

MC

[答案]

(1)3PM1；(2)＝

6MC33.又∵PN⊥面ABC，∴PA是三棱锥P－ABC的高，2[分析]

(1)在△ABC中⇒S△ABC＝根据锥体的体积公式即可求出结果；(2)过点B作BN垂直AC于点N，过N作MN∥PA交PC于M，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可知此M点即为所求，根据相似三角形的性质即可求出结果．

[解析]

(1)在△ABC中，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°

113⇒S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝×1×2×sin60°＝. 222又∵PA⊥面ABC，

∴PA是三棱锥P－ABC的高，

1133∴V三棱锥P－ABC＝PA·S△ABC＝×1×＝. 3326(2)过点B作BN垂直AC于点N，过N作NM∥PA交PC于M，则

MN⊥面ABCMN⊥ACAC⊥面BMN⇒⇒⇒AC⊥BM，

AC⊂面ABCMN∩BN＝NBM⊂面BMN

31CMCN23PM1此时M即为所找点，在△ABN中，易知AN＝⇒＝⇒＝⇒＝. 2PCAC24MC322．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB＝3，AD＝2，PA＝2，PD＝22，∠PAB＝60°.

(1)求证：AD⊥平面PAB；

(2)求异面直线PC与AD所成的角的正切值；

(3)求二面角P－BD－A的正切值．

[解析]

(1)证明：在△PAD中，∵PA＝2，AD＝2，PD＝22，

∴PA2＋AD2＝PD2，∴AD⊥PA．

在矩形ABCD中，AD⊥AB．

∵PA∩AB＝A，∴AD⊥平面PAB．

(2)∵BC∥AD，∴∠PCB是异面直线PC与AD所成的角．

在△PAB中，由余弦定理得

PB＝PA2＋AB2－2PA·AB·cos∠PAB＝7. 由(1)知AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，

∴AD⊥PB，∴BC⊥PB，

则△PBC是直角三角形，

故tan∠PCB＝PB7＝. BC27. 2∴异面直线PC与AD所成的角的正切值为(3)过点P作PH⊥AB于点H，过点H作HE⊥BD于点E，连结PE. ∵AD⊥平面PAB，PH⊂平面ABCD，∴AD⊥PH. 又∵AD∩AB＝A，∴PH⊥平面ABCD．

又∵PH⊂平面PHE，∴平面PHE⊥平面ABCD．

又∵平面PHE∩平面ABCD＝HE，BD⊥HE，

∴BD⊥平面PHE. 而PE⊂平面PHE，∴BD⊥PE，

故∠PEH是二面角P－BD－A的平面角．

由题设可得，PH＝PA·sin60°＝3，

AH＝PA·cos60°＝1，BH＝AB－AH＝2，

AD4BD＝AB2＋AD2＝13，HE＝·BH＝. BD13PH39∴在Rt△PHE中，tan∠PEH＝＝. HE4

∴二面角P－BD－A的正切值为

39. 4