3.4 生活中的优化问题举例ppt配套教案板书设计

3.4 生活中的优化问题举例

[知识目标]

1.掌握应用导数解决实际问题的基本思路.(重点) 2.灵活利用导数解决实际生活中的优化问题，提高分析问题，解决问题的能力.(难点)

[基础·初探] 教材整理

优化问题

阅读教材P101第一自然段，完成下列问题. 1.优化问题

(1)生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题. (2)用导数解决优化问题的实质是求函数的最值. 2.用导数解决优化问题的基本思路

甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图3-4-1所示：

图3-4-1 现有下列四种说法：

①前四年该产品产量增长速度越来越快；

②前四年该产品产量增长速度越来越慢；

③第四年后该产品停止生产；

④第四年后该产品年产量保持不变. 其中说法正确的有(

) 1/6

A.①④

C.①③

B.②④

D.②③

[小组合作型] 知识点一：面积、体积最值问题

用长为90 cm、宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图3-4-2).问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？

图3-4-2

再练一题

1.已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽. 知识点二：用料(费用)最省问题

某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10 000平方米，该中心每块球场的建设面积为1 000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x块时，每平方米的平均建1设费用(单位：元)可近似地用f(x)＝8001＋5ln x来刻画.为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？

再练一题

2.甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是11P＝19 200v4－160v3＋15v. (1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；

(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的2/6

最小值. 知识点三：利润最大(成本最低)问题

探究

关于利润问题常用的等量关系有哪些？

某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q＝3x＋1(x≥0)，已知生x＋1产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元.若每件产品售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和，则

(1)试将年利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数.如果年广告费投入100万元，那么企业是亏损还是盈利？

(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？

再练一题

3.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元1/吨)之间的关系式为p＝24 200－5x2，且生产x吨产品的成本为R＝50 000＋200x(元).问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本) [当堂检测]

1.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则其高为(

) 203A.3

cm C.20 cm B.100 cm 20D.3

cm 2.某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数：y1＝17x2(x>0)；生产总成本y2(万元)也是x的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产(

) A.9千台

C.6千台

B.8千台

D.3千台

3.把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，则它们的面积和的最3/6

小值为________. 4.某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的售价为________元时，利润最大. 5.某造船公司年最高造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3 700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5 000(单位：万元).求：

(1)利润函数P(x)(提示：利润＝产值－成本)的解析式；

(2)年造船量安排多少艘时，可使造船公司的年利润最大？

[反思总结] 1.求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值. 2.实际问题中函数定义域确定的方法

(1)根据图形确定定义域，如本例中长方体的长、宽、高都大于零；

(2)根据问题的实际意义确定定义域，如人数必须为整数，销售单价大于成本价、销售量大于零等. 3.实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.根据f′x＝0求出极值点注意根据实际意义舍去不合适的极值点后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值. 4. (1)利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”或“利润＝每件产品利润×销售件数”建立函数关系式，再用导数求最大值. (2)解答此类问题时，要认真理解相应的概念，如：成本、利润、单价、销售量、广告费等等，以免因概念不清而导致解题错误. [作业布置] 一、选择题

1.做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为(

) A.6 m C.4 m B.8 m D.2 m 2.某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本4/6

x3增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－900＋400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是(

) A.150 C.250 B.200 D.300 3.某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌墙壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)(

) A.32,16 C.40,20 B.30,15 D.36,18 4.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为P元，销售量为Q件，且销量Q与零售价P有如下关系：Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)(

) A.30元

C.28 000元

B.60元

D.23 000元

5.三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OC＝2x，OA＝x，OB＝y，且x＋y＝3，则三棱锥O-ABC体积的最大值为(

) A.4 4C.3

二、填空题

6.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________.

7.已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米.

8.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元.那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处. 三、解答题

9.如图3-4-3，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每5/6 B.8 8D.3

米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖).

图3-4-3 (1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域. (2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价. 10.用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.

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