习题4.2优质课教案推荐

直线与圆问题的进一步探究

——圆系方程的应用

一、常见的圆系方程有如下几种：

1、以(a,b)为圆心的同心圆系方程：(xa)2(yb)22(0)

与圆x2y2＋Dx＋Ey＋F＝0同心的圆系方程为：x2y2＋Dx＋Ey＋＝0 2、过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为：x2y2＋Dx＋Ey＋F＋（Ax＋By＋C）＝0（R）

3、过两圆C1:x2y2＋D1xE1yF1＝0，C2:x2y2＋D2xE2yF2＝0交点的圆系方程为：x2y2＋D1xE1yF1＋（x2y2＋D2xE2yF2）＝0（≠-1），此圆系不含C2:x2y2＋D2xE2yF2＝0）

特别地，当＝-1时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程．

注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆C2，可等价转化为过圆C1和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:x2y2D1xE1yF1[(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)]0

一、基础回顾：

1、求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程. 解: 构造方程

x2+y2+6x4+λ(x2+y2+6y28)=0 即

(1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy(4+28λ)=0

此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为(当该圆心在直线xy4=0上时,即

33,)

113340,得7.

11

)，且过B(2,0)的圆的方程.2、求与圆x2+y2-4x-2y-20=0切于A(-1,-3

∴

所求圆方程为

x2+y2x+7y32=0

解：过A(1,3)的圆的切线为3x4y150。与已知圆构造圆系x2y24x2y20(3x4y15)0，

8代入(2,0)得,所以所求圆方程为77x27y24x18y200.

二、圆系方程的应用

探究：求过圆且过两圆C1：x2＋y2－4x－6＝0和C2：x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程且面积最小的圆C的方程．

分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。

22x＋y－4x－6＝0，解：法一：由22

x＋y－4y－6＝0，

得两圆公共弦所在直线的方程为y＝x. y＝x，x1＝－1，由22解得x＋y－4y－6＝0，y1＝－1，

x2＝3，

y＝3.2

所以两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点坐标分别为A(－1，－1)，B(3,3)，

线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y－1＝－(x－1)．

由垂径定理知圆心在AB的垂直平分线上，设圆心C(a,-a+2) ，

222则半径r=(a+1)+(-a+2+1)=（2a-1）+8

当且仅当a=1时，r取得最小值22

此时圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=8

22x＋y－4x－6＝0，法二：由22

x＋y－4y－6＝0，

得两圆公共弦所在直线的方程为y＝x 设圆心C1（2,0）到公共弦的距离为d

则公共弦长l=2R2-d2=42

由圆的性质得公共弦的垂直平分线过两圆圆心，则

线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y＝－(x－2)．

设圆心C(a,-a+2)到公共弦的距离为d1 则

d1=|a+a-2|

2

2l2（2a-2）因此圆C的半径r=d1+()=+8

222当且仅当a=1时，r取得最小值22

此时圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=8

由公共弦AB也为圆C的一条弦可知，r≥=22

当且仅当公共弦AB为圆C的直径时，rmin=l2l=22，

2此时圆心C为直线AB：y＝x与中垂线：y＝－(x－2)的交点C(1,1) 圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=8

方法四：

设经过两圆交点的圆系方程为

x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)，

44λ即x2＋y2－x－y－6＝0，

1＋λ1＋λ22λ所以圆心坐标为(，)．

1＋λ1＋λ22λ又圆心在直线直线AB：y＝x上，所以=，

1＋λ1＋λ即λ＝1 所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－2y－6＝0.

跟踪训练3已知圆C的方程为x2＋y2－2x－4y＋m＝0（m<5），与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值。

法一：解

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则x1＝4－2y1，x2＝4－2y2，

得x1x2＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2. ∵OM⊥ON，

∴OM•ON=0

∴x1x2＋y1y2＝0，

∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0.

①

→→x＝4－2y，由22得5y2－16y＋m＋8＝0，

x＋y－2x－4y＋m＝0，

8＋m168∴y1＋y2＝，y1y2＝，代入①得m＝. 555

法二：倘若充分挖掘本题的几何关系OM⊥ON，不难得出O在以MN为直径的圆上。而M，N刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。解：过直线x＋2y－4＝0与圆x2＋y2－2x－4y＋m＝0（m<5）的交点的圆系方程为：

x2＋y2－2x－4y＋m+λ(x＋2y－4)=0，即x2＋y2＋(λ－2)x＋(2λ－4)y+m－4λ=0……①

（由题得原点O在以PQ为直径的圆上，则圆心（解得λ=-λ-22λ-4，-）在直线x＋2y－4＝0上，

222

58

5又原点O（0，0）在圆上，满足圆的方程①，则m－4λ=0，故m=思考题：已知圆C：x2y22x4y10和圆外一点P（3，4），过点A作圆C的切线，切点分别为M、N，求过切点M、N的直线方程. 分析：本题是求过切点的直线方程，由切线性质知，切点在以线段PC为直径的圆上，故直线MN是以线段PC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程，故可用过两圆交点的曲线系方程求此直线方程. 解：由切线性质知，切点M、N在以线段PC为直径的圆上，由题知C(1，-2)，

∴

|PC|=(3-1)2+(4+2)2=210,线段PC的中点M（2,1），

2∴

以M为圆心、线段PC为直径的圆的方程为

M（

:x-2）+(y-1)2=10，圆C的方程与圆M的方程相减

点评：对过圆切点的直线方程问题，可通过构造圆，利用过两圆交点的曲线系方程求直线方程，注意过两圆交点的曲线系方程参数为何值时表示圆，参数为何值时表示直线.

动圆过定点问题：

22221、在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+1）+y=1，圆C2：（x﹣3）+（y﹣4）=1．

（Ⅰ）判断圆C1与圆C2的位置关系；

（Ⅱ）若动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长，则动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

考点：

直线和圆的方程的应用．

专题：

直线与圆．

分析：

（Ⅰ）求出两圆的圆心距离，即可判断圆C1与圆C2的位置关系；

（Ⅱ）根据圆C同时平方圆周，建立条件方程即可得到结论．

2222解答：

解：（Ⅰ）C1：（x+1）+y=1的圆心为（﹣1，0），半径r=1，圆C2：（x﹣3）+（y﹣4）=1的圆心（3，4），半径R=1，

则|C1C2|=∴圆C1与圆C2的位置关系是相离．

（Ⅱ）设圆心C（x，y），由题意得CC1=CC2，

即整理得x+y﹣3=0，

即圆心C在定直线x+y﹣3=0上运动．

设C（m，3﹣m），

则动圆的半径22，

，

，

22于是动圆C的方程为（x﹣m）+（y﹣3+m）=1+（m+1）+（3﹣m），

22整理得：x+y﹣6y﹣2﹣2m（x﹣y+1）=0．

由，

解得或，

即所求的定点坐标为（1﹣，2﹣），（1+，2+）．

点评：

本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，以及与圆有关的综合应用，考查学生的计算能力．

2、二次函数f（x）=3x﹣4x+c（x∈R）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为⊙C．

（1）求实数c的取值范围；

（2）求⊙C的方程；

（3）问⊙C是否经过某定点（其坐标与c的取值无关）？请证明你的结论．

考点：

圆的标准方程；二次函数的性质；圆系方程．

专题：

直线与圆．

分析：

（1）令x=0求出y的值，确定出抛物线与y轴的交点坐标，令f（x）=0，根据与x轴交点有两个得到为0且根的判别式的值大于0，即可求出c的范围；

2（2）设所求圆的一般方程为x+y+Dx+Ey+F=0，令y=0得，x+Dx+F=0，这与x﹣x+=0是同一个方求出D，F．令x=0得，y+Ey+F=0，此方程有一个根为c，代入得出E，由此求得圆C的一般方程；

（3）圆C过定点（0，）和（，），证明：直接将点的坐标代入验证．

解答：

解：（1）令x=0，得抛物线与y轴的交点（0，c），

2令f（x）=3x﹣4x+c=0，

由题意知：c≠0且△＞0，

解得：c＜且c≠0；

（2）设圆C：x+y+Dx+Ey+F=0，

令y=0，得到x+Dx+F=0，这与x﹣x+=0是一个方程，故D=﹣，F=；

令x=0，得到y+Ey+F=0，有一个根为c，代入得：c+cE+=0，解得：E=﹣c﹣，

则圆C方程为：x+y﹣x﹣（c+）y+=0；

（3）圆C必过定点（0，）和（，），理由为：

由x+y﹣x﹣（c+）y+=0，

令y=，解得：x=0或，

∴圆C必过定点（0，）和（，）．

222222222222222点评：

本题主要考查圆的标准方程，一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，属于中档

3、一个动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过定点

A．（0，2）

B．（0，-2）

C．（2，0）

D．（4，0）

∵抛物线y2=8x的准线方程为x=-2，

∴由题可知动圆的圆心在y2=8x上，且恒与抛物线的准线相切，

由定义可知，动圆恒过抛物线的焦点（2，0），

故选C．