复习参考题教案设计

动量守恒定律的应用

——动量和能量的综合应用

[学习目标]

1.进一步熟练掌握动量守恒定律的应用.2.综合应用动量和能量观点解决力学问题．

一、滑块—木板模型

1．把滑块、木板看做一个整体，摩擦力为内力，在光滑水平面上滑块和木板组成的系统动量守恒．

2．由于摩擦生热，机械能转化为内能，系统机械能不守恒，应由能量守恒定律求解问题．

3．注意：若滑块不滑离木板，就意味着二者最终具有共同速度，机械能损失最多．

例1

如图1所示，B是放在光滑水平面上的质量为3m的一块木板，物块(可看成质点)A质量为m，与木板间的动摩擦因数为μ.最初木板B静止，物块A以水平初速度v0滑上长木板，木板足够长．求：(重力加速度为g)

图1 (1)木板B的最大速度的大小；

(2)从木块A刚开始运动到A、B速度刚好相等的过程中，木块A所发生的位移的大小；

(3)若物块A恰好没滑离木板B，则木板的最小长度．

v015v023v02答案

(1)

(2)

(3)

432μg8μg解析

(1)由题意知，A向右减速，B向右加速，当A、B速度相等时B速度最大．以v0的方向为正方向，根据动量守恒定律：mv0＝(m＋3m)v

v0得：v＝

4(2)A向右减速的过程，根据动能定理有

11－μmgx1＝mv2－mv02

2215v02则木块A所发生的位移为x1＝

32μg

(3)方法一：设B向右加速过程的位移为x2. 1则μmgx2＝×3mv2

23v02解得x2＝

32μg木板的最小长度：

3v02L＝x1－x2＝. 8μg方法二：从A滑上B至A、B达到共同速度的过程中，由能量守恒定律得：

11μmgL＝mv02－(m＋3m)v2

223v02得：L＝. 8μg二、子弹打木块模型

1．子弹打木块的过程很短暂，认为该过程内力远大于外力，则系统动量守恒．

2．在子弹打木块过程中摩擦生热，系统机械能不守恒，机械能向内能转化．

3．若子弹不穿出木块，最后二者有共同速度，机械能损失最多．

例2

如图2所示，在水平地面上放置一质量为M的木块，一质量为m的子弹以水平速度v射入木块(未穿出)，若木块与地面间的动摩擦因数为μ，

图2 求：(重力加速度为g) (1)射入的过程中，系统损失的机械能；

(2)子弹射入后，木块在地面上前进的距离．

Mmv2m2v2答案

(1)

(2)

2M＋m2M＋m2μg解析

因子弹未穿出，故碰撞后子弹与木块的速度相同，而系统损失的机械能为初、末状态系统的动能之差．

(1)设子弹射入木块后，二者的共同速度为v′，取子弹的初速度方向为正方向，则由动量守恒定律得：

mv＝(M＋m)v′①

射入过程中系统损失的机械能

11ΔE＝mv2－(M＋m)v′2②

22Mmv2解得：ΔE＝. 2M＋m(2)子弹射入木块后二者一起沿地面滑行，设滑行的距离为x，由动能定理得：

1－μ(M＋m)gx＝0－(M＋m)v′2③

2m2v2由①③两式解得：x＝. 2M＋m2μg

子弹打木块模型与滑块—木板模型类似，都是通过系统内的滑动摩擦力相互作用，系统动量守恒．当子弹不穿出木块时，相当于完全非弹性碰撞，机械能损失最多．

三、弹簧类模型

1．对于弹簧类问题，在作用过程中，若系统合外力为零，则满足动量守恒条件．

2．整个过程往往涉及多种形式的能的转化，如：弹性势能、动能、内能、重力势能的转化，应用能量守恒定律解决此类问题．

3．注意：弹簧压缩最短或弹簧拉伸最长时，弹簧连接的两物体速度相等，此时弹簧弹性势能最大．

v0例3

两块质量都是m的木块A和B在光滑水平面上均以速度向左匀速运动，中间用一根2m劲度系数为k的水平轻弹簧连接，如图3所示．现从水平方向迎面射来一颗子弹，质量为，4速度为v0，子弹射入木块A并留在其中．

图3 求：

(1)在子弹击中木块后的瞬间木块A、B的速度vA和vB的大小；

(2)在子弹击中木块后的运动过程中弹簧的最大弹性势能．

v0v01答案

(1)

(2)mv02

5240解析

(1)在子弹射入木块A的瞬间，由于相互作用时间极短，弹簧来不及发生形变，A、Bv0都不受弹簧弹力的作用，故vB＝；

2由于此时A不受弹簧的弹力，木块A和子弹构成的系统在这极短过程中所受合外力为零，系统动量守恒，选向左为正方向，由动量守恒定律得：

mv0mv0m－＝(＋m)vA

244v0解得vA＝. 5(2)由于子弹击中木块A后木块A、木块B运动方向相同且vA

能增大，直到A、B速度相等时弹簧弹性势能最大．在弹簧被压缩的过程中木块A(包括子弹)、木块B与弹簧构成的系统动量守恒、机械能守恒．

设弹簧压缩量最大时共同速度为v，弹簧的最大弹性势能为Epm，

选向左为正方向，由动量守恒定律得：

55mvA＋mvB＝(m＋m)v

44由机械能守恒定律得：

15115×mvA2＋mvB2＝×(m＋m)v2＋Epm

2422411联立解得v＝v0，Epm＝mv02. 340针对训练

如图4所示，A、B两个木块用水平轻弹簧相连接，它们静止在光滑水平面上，A和B的质量分别是99m和100m，一颗质量为m的子弹以速度v0水平射入木块A内没有穿出，则在以后的过程中弹簧弹性势能的最大值为(

)

图4 mv02A.

40099mv02C.

200答案

A 解析

选v0的方向为正方向，子弹射入木块A的过程中，动量守恒，有mv0＝100mv1，子弹、A、B三者速度相等时，弹簧的弹性势能最大，100mv1＝200mv2，弹簧弹性势能的最大值Epm21122mv0＝×100mv1－×200mv2＝. 22400mv02B.

200199mv02D.

400

1．(滑块—木板模型)如图5所示，质量为M、长为L的长木板放在光滑水平面上，一个质量也为M的物块(视为质点)以一定的初速度从左端冲上长木板，如果长木板是固定的，物块恰好停在长木板的右端，如果长木板不固定，则物块冲上长木板后在长木板上最多能滑行的距离为(

)

图5 3LLLA．L

B.

C.

D.

442

答案

D 1解析

长木板固定时，由动能定理得：－μMgL＝0－Mv02，若长木板不固定，以物块初速度211L的方向为正方向，有Mv0＝2Mv，μMgs＝Mv02－×2Mv2，得s＝，D项正确，A、B、C222项错误．

2．(子弹打木块模型)矩形滑块由不同材料的上、下两层粘合在一起组成，将其放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v0水平射向滑块，若射击下层，子弹刚好不射出，若射击上层，则子弹刚好能射穿一半厚度，如图6所示．上述两种情况相比较，下列说法不正确的是(

)

图6 A．子弹的末速度大小相等

B．系统产生的热量一样多

C．子弹对滑块做的功相同

D．子弹和滑块间的水平作用力一样大

答案

D 解析

设滑块的质量是M，选择子弹初速度的方向为正方向，滑块获得的最终速度(最后滑块和子弹的共同速度)为v.则由动量守恒定律知：mv0＝(m＋M)v

mv0所以：v＝

M＋m可知两种情况下子弹的末速度是相同的，故A正确；子弹射入下层或上层过程中，系统产生的热量都等于系统减少的动能，而子弹减少的动能一样多(子弹初、末速度相等)，滑块增加的动能也一样多，则系统减少的动能一样多，故系统产生的热量一样多，故B正确；滑块的末速度是相等的，所以获得的动能是相同的，根据动能定理，滑块动能的增量等于子弹做功的多少，所以两次子弹对滑块做的功一样多，故C正确；子弹射入下层或上层过程中，系统产生的热量都等于系统减少的动能，Q＝f·x相对，由于两种情况子弹能射穿的厚度不相等，即相对位移x相对不相等，所以两种情况下子弹和滑块间的水平作用力大小不同，故D错误．

3．(弹簧类模型)(多选)如图7所示，与水平轻弹簧相连的物体A停放在光滑的水平面上，物体B沿水平方向向右运动，跟与A相连的轻弹簧相碰．在B跟弹簧相碰后，对于A、B和轻弹簧组成的系统，下列说法中正确的是(

)

图7 A．弹簧压缩量最大时，A、B的速度相同

B．弹簧压缩量最大时，A、B的动能之和最小

C．弹簧被压缩的过程中系统的总动量不断减少

D．物体A的速度最大时，弹簧的弹性势能为零

答案

ABD 4．(动量与能量的综合应用)如图8所示，固定的光滑圆弧面与质量为6 kg的小车C的上表面平滑相接，在圆弧面上有一个质量为2 kg的滑块A，在小车C的左端有一个质量为2 kg的滑块B，滑块A与B均可看做质点．现使滑块A从距小车的上表面高h＝1.25 m处由静止下滑，与B碰撞后瞬间粘合在一起共同运动，最终没有从小车C上滑出．已知滑块A、B与小车C间的动摩擦因数均为μ＝0.5，小车C与水平地面间的摩擦忽略不计，g取10 m/s2.

图8 求：

(1)滑块A与B碰撞后瞬间的共同速度的大小；

(2)小车C上表面的最短长度．

答案

(1)2.5 m/s

(2)0.375 m 1解析

(1)设滑块A滑到圆弧面末端时的速度大小为v1，由机械能守恒定律得：mAgh＝mAv12

2代入数据解得v1＝5 m/s 设A、B碰后瞬间的共同速度为v2，滑块A与B碰撞瞬间与小车C无关，滑块A与B组成的系统动量守恒，以向右的方向为正方向，

mAv1＝(mA＋mB)v2

代入数据解得v2＝2.5 m/s (2)设小车C上表面的最短长度为L，三者最终的共同速度为v3，以向右的方向为正方向

根据动量守恒定律有：

(mA＋mB)v2＝(mA＋mB＋mC)v3

根据能量守恒定律有：

11μ(mA＋mB)gL＝(mA＋mB)v22－(mA＋mB＋mC)v32

22代入数据解得L＝0.375 m.