二、圆锥曲线的离心率与统一方程教学实录及点评

圆锥曲线小题

【题型解读】

一、求解曲线的离心率

求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系，然后把b用a，c代换，c的值。

a二、圆锥曲线中的求值、最值与范围问题

求1、是利用几何方法。若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决。

常见的几何方法有：

（1）直线外一定点P到直线上各点距离的最小值为该点P到直线的垂线段的长度；

（2）圆C外一定点P到圆上各点距离的最大值为|PC|R，最小值为|PC|R(R为圆C半径)；

（3）过圆C内一定点P的圆的最长的弦即为经过P点的直径，最短的弦为过P点且与经过P点

直径垂直的弦；

（4）圆锥曲线上本身存在最值问题，如

①椭圆上两点间最大距离为2a(长轴长)；

②双曲线上两点间最小距离为2a(实轴长)；

③椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[ac,ac]，ac与ac分别表示椭圆焦点到椭

圆上点的最小与最大距离；

④抛物线上的点中，顶点与抛物线的准线距离最近。

2、是利用代数方法。若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值。

常用的代数方法有：

（1）利用二次函数求最值；

（2）通过三角换元，利用正、余弦函数的有界性求最值；

（3）利用基本不等式求最值；

（4）利用导数法求最值；

（5）利用函数单调性求最值。

【旧题重做】

y2x2a2221、（深圳调研）若双曲线2-2=1(a0,b0)的一条渐近线与圆x+(y-a)=相切，则该双曲ab9线的离心率为

A．3 B．3 C．

2、（惠州三模）ABC中，B则E的离心率为（ ）. (A) 51 (B) 31 (C) 32 D．32

242，A、B是双曲线E的左、右焦点，点C在E上，且ABBC，33131 (D)

221

x2y23、（广州调研）在直角坐标系xOy中，设F为双曲线C：221(a0,b0)的右焦点，P为双曲ab线C的右支上一点，且△OPF为正三角形，则双曲线C的离心率为（ ）

A．3

B．23 3

C．13 D．23 x2y24、（百校联盟4月）已知点F1,F2是双曲线C:-=1(a>0)的左右焦点，点P是以F1,F2为直径a+1a4C的渐近线方程为

（ ）

的圆与双曲线C的一个交点，若PF1F2的面积为，则双曲线A．y

4x

5B．y5x

4

C．y25x

5

D．y5x

2x2y25、（佛山二模）已知A，F,P

分别为双曲线221(a0,b0)的左顶点、右焦点以及右支上的动点，ab若PAF2PAF恒成立，则双曲线的离心率为（ ）

A．3

B．

2

C．2

D．

13

【例题讲解】

类型一

利用几何性质求值

【例1】、已知抛物线C:y4x的焦点为F，准线为l

，过点F的直线交抛物线于A,B两点（A在第一象限），过点A作准线l的垂线，垂足为E，若AFE60，则AFE的面积为（

）

A．

【例2】、如图，过抛物线x22py(p0)的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点，交其准线于点C，若

B．

C．

D．

2BC2BF，且AF422，则p为（

）

A．1 B．2 C．

5

D．3 22

[练习1]、已知C:y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若则|QF|=（

）

A．3

[练习2]、已知过抛物线y24x焦点F的直线l交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），若则直线l的斜率为（

）

A．2 B．

C．

D．

B．

C．

D．

=4，=3，

类型二：离心率

x2y24【例3】、椭圆221(ab0)的两个焦点F1，F2，点M在椭圆上，且MF1F1F2，MF1，3abMF2A．

14，则离心率e等于（ ）

35555 B． C． D．

8634x2y2【例4】、如图，F1，F2是双曲线221(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右2ab个分支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（

）

A．4

【例5】、设点P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与圆x+y=a+b在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲2222 B． C．

D．

线的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率（

）

A．

B．

C． D．

3

[练习3]、过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若A．

=2，则该双曲线的离心率为（

）

D．

B．2 C．[练习4]、已知抛物线y=2px（p＞0）与双曲线2﹣=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，若点A是抛物线与双曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（

）

A．

B．+1 C．+1

D．

x2y2[练习5]已知双曲线21(b0)，过其右焦点F作圆x2y29的两条切线，切点记作C，D, 9b双曲线的右顶点为E，CED150，其双曲线的离心率为（ ）

A．

23233 B． C．3 D． 293类型三：求最值与范围

x2y21的左右焦点，若Q是该椭圆上的一个动点，则QF【例6】、设F1，F2分别是椭圆1QF2的最4大值和最小值分别为（ ）

A．1与－2 B．2与－2 C．1与－1 D．2与－1

x2y2【例7】、已知双曲线221,(a0,b0)的左，右焦点分别为F1,F2，点P在双曲线的右支上，且ab|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为 ．

4

x2y2x2y2【例8】、已知椭圆221(ab0)与双曲线221(m0，n0)具有相同的焦点F1,F2，mnab且在第一象限交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2，若F1PF2（ ）

A．23 B．

【例9】、已知F是双曲线2312323 C． D． 2243

，则e12e22的最小值是x2a2y2b21(a0,b0)的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为 ( ) A．(1,) B．(1,2) C．(1,12) D．(2,12)

[练习6]、如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1,A2,B1,B2为椭圆顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若B1PA2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）

A.52520,,0 B. 22yB2PA1F1B1F2A25151 C.0,2,1

 D.2

5 x

【课堂检测】

x2y2C上一点，满1、已知椭圆C:221(ab0)的左右焦点分别为F1,F2，其中F1(25,0)，P为abC的方程为（ ）

足|OP||OF1|且|PF1|4，则椭圆x2y2x2y2x2y2x2y21 B.1 C.1 D.1

A.255301036164525

2、已知抛物线x22py(p0)的焦点为F，过F作倾斜角为30的直线，与抛物线交于A,B两点，若|AF|=（ ）

|BF|1111A． B． C． D．

2345|AF||BF|，则

3、已知直线l：yk(x2)(k0)与抛物线C:y8x交于A,B两点，F为抛物线C的焦点，若2k的值是（ ）

|AF|2|BF，则|A. B.

13222 C. D.22

34x2y24、已知双曲线221(a0,b0)，以右焦点F为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点ab，若|MN|23a，则该双曲线的离心率是（ ）

M,N（异于原点O）A.2 B.31 C.2 D.3

x2y25、已知双曲线221(a0，b0)的中心为O，左焦点为F，P是双曲线上的一点OPPF0且ab4OPOFOF，则该双曲线的离心率是（ ）

102102A． B． C．73 D．73

22

2x2y26、设双曲线221(a0，b0)的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两abuuuruuruuur3点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若OPOAOB(,R)，，16则双曲线的离心率为（ ）

A．233 B．355 C．322 D．98

6

【对接高考】

x2y21、【2017新课标1卷，理15】已知双曲线C：221（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为ab半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________

2、【2017新课标1卷，理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为(

) A．16

B．14

C．12

D．10 x2y221表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,3、【2016新课标1卷，理5】已知方程2mn3mn则n的取值范围是(

) A．1,3

4、【2016新课标1卷，理10】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为(

) A．2

B．4

C．6

D．8

B．1,3

C．0,3

D．0,3

x2y21上的一点，F1,F2是C上的两个5、【2015新课标1卷，理5】已知M（x0,y0）是双曲线C：2焦点，若MF1MF20，则y0的取值范围是(

) A．（-

33，）

33

B．（-3322222323，）

C．（，）

D．（，）

333366x2y21的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该6、【2015新课标1卷，理14】一个圆经过椭圆164圆的标准方程为

.

7、【2014新课标1卷，理4】已知F为双曲线C:x2my23m(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（ ）

A．3

B．3

2C．3m

D．3m

8、【2014新课标1卷，理10】已知抛物线C:y8x的焦点为F，准线为l，Q是直线PF与C的一个交点，若FP4FQ，则QF（ ）

A．7

2

B．5

2

C．3

D．2

7

x2y259、【2013新课标1卷，理4】已知双曲线C:221(a0,b0)的离心率为

，则C的渐近线为ab2（ ）

A．y

1x

4B．y1x

3

C．y1x

2

D．y1x

4x2y210、【2013新课标1卷，理10】已知椭圆E:221(ab0)的右焦点为F(3,0)

，过点F的直线ab交E于A,B两点，若AB的中点坐标为(1,1)

，则E的方程为（ ）

22A．x2y21B．x2y4536

C．x2361

27y227181

D．xy21891

8