3.1.3 导数的几何意义优秀公开课教案

导数的几何意义

湖南省澧县第三中学 雷春高

一、教学目标

1、通过函数图象直观地理解导数的几何意义；体会数形结合、以曲代直的思想方法，领会“量变到质变”的哲学原理. 2、让学生在观察、思考、发现中学习，体会导数的思想方法在现实生活中的应用. 二、教学重点与难点

重点：理解导数的几何意义，体会导数的思想方法. 难点：从割线到切线的过程中采用的逼近方法；

理解导数的概念，将多方面的意义联系起来，例如，导数反映了函数f(x)在点x附近的变化快慢，导数是曲线上某点切线的斜率，等等. 三、教学过程设计

（一）旧知回顾、新课引入

1.1平均变化率定义；

刻画函数f(x) 在x

到x

的函数值变化快慢. 1.2平均变化率几何意义：函数图象割线AB的斜率k

；刻画了函数f(x)在

时

函数值的变化快慢以及曲线在

时的陡峭程度.

设计意图：教师画板演示割线AB正负两种情况下，k

数值与曲线在

时的陡峭程度的关系.为下面学生理解f(x)在点

处附近的变化快慢与的大小有关铺垫.

2.1导数的定义；导数

表示f(x) 在

处的瞬时变化率，

反映了函数f(x)在点

处附近的变化快慢程度. 2.2导数的物理意义，物理中，它的一种意义就是瞬时速度，反映物体某一时刻运动的快慢程度.那么，导数几何意义是什么呢？

设计意图：通过提问，学生复习，实施类比迁移，引入本节课题，并为探寻导数的几何意义作好准备.

（二）导数几何意义的探求过程

[一]切线的定义

问题1、点P

（

）（n=1，2，3，4……）趋近于点P

时，割线PP

的变化趋势是什么？

设计意图：教师几何画板演示割线的动态变化趋势，为学生观察、思考提供平台，引导学生共同分析，直观获得切线定义.

生：点P

趋近于点P时，割线PP

趋近于确定的位置. 师：这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线. 问题2、以前学习过圆的切线是如何定义的？

设计意图：概念的辨析有助于学生准确理解概念，避免了学习的负向迁移.

师：教师呈现圆的割线、切线状态. 生：圆的切线定义用直线与圆交点个数或圆心到直线的距离来定义. 问题3：曲线在点P处切线用能用直线与切线的公共点个数来定义吗？

设计意图：借助图形直观，通过逼近方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线，

使学生体会这种定义适用于各种曲线.反映了切线的直观本质.

师：动态演示曲线在点P处切线是曲线的割线PP

上点P

沿着曲线无限逼近点P时，割线PP

趋于确定位置的过程，曲线在点P处切线与曲线可以有不止1个公共点.直线与曲线，只有一个公共点时，不一定是曲线的切线. 生：观察、思考、进一步理解切线定义的来龙去脉. 问题4：“曲线在点P处切线”与“过点P的曲线的切线”一样吗？

设计意图：为导函数的概念埋下伏笔，并引导学生注意数学语言所表达的真正意义.

师:演示“过点P的曲线的切线”有可能不止一条或者没有，“光滑曲线在其上一点P处切线”只有一条.

生：观察、思考、注意区别.

[2]导数的几何意义

问题5、观察割线PP斜率（平均变化率）与切线PT斜率k有什么的关系？

设计意图：要求学生数与形结合，将切线斜率和导数相联系，观察、思考获得导数的几何意义.

[三]以直代曲

问题6、观察发现，点P附近，PP、PP

、PP PP、切线PT与点P附近的曲线f(x)的接

近情况是怎样的？

设计意图：教师利用信息技术将函数曲线在某一点附近的图象放大得到一个近景图，图象放得越大，这一小段的曲线看起来越象直线，为例2运用“以直代曲”解决问题提供了几何直观上的依据.

生：点P附近，PP

比PP

更贴近曲线f(x), PP

比PP

更贴近曲线f(x), PP

比PP

更贴近曲线f(x), ……过点P的切线PT最贴近点P附近的曲线f(x). 师：以直代曲是微积分中重要的思想方法，即以简单的对象刻画复杂的对象. 大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线,所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即以直代曲.

（三）导数几何意义的应用

例1、依图象，请描述、比较曲线h(t)在t，t，t附近的变化曲线h(t)在t处情况.

问题7、曲线h(t)在t

处附近的变化情况是指什么？

设计意图：引导从数与形两方面进行学生分析问题，使学生体会数形结合的思想方法.

生：变化趋势即上升或下降，即单调性；变化快慢，即

的大小，即曲线h(t)在t

处的切线斜率. 问题8、如何研究曲线h(t)在t

处的变化情况？

设计意图：运用以直代曲代解决问题，使学生体会“用简单对象刻画复杂对象的思想”.

生：用h(t)在t

处切线，刻画曲线h(t)在t

，t

，t

时刻附近的变化情况. （教师画出3条切线,可再多画出切线斜率大于0的情况，让学生进一步描述变化情况）

生：变化趋势----- 1、当t=t

时，曲线在t

处的切线

平行于轴，所以，在t

附近曲线比较平坦，几乎没有升降. 2、当t=t

时，曲线在t

处的切线 的斜率

<0. 所以，在t=t

附近曲线下降，即函数h(t) 在t=t

附近单调递减. 变化快慢-----直线 的倾斜程度小于直线 的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t

附近比在t

附近下降得缓慢. 问题9、你对

正负与

单调性，大小与

图象的“陡峭”、“平缓”程度的关系，

有什么收获和发现？

设计意图：适时的解题反思为下面“1.3导数在研究函数中的应用”的学习奠定基础，同时为学生顺利完成课后习题，例如已知函数

图象，画出

的图象，提供了帮助.

例2、利用信息技术工具，画出函数的图象，并根据其图象，

估计V=0.2、0.4、0.6, 0.8, 1.0, 1.2时，气球的瞬时膨胀率. 问题10、你能说说瞬时变化率、导数、切线斜率的关系吗？

设计意图：使学生将导数多方面的意义联系起来，例如，

是函数

在

处的瞬时变化率，导数反映了函数f(x)在点x附近的变化快慢，导数是曲线上某点切线的斜率，等等.

生：函数

在

处的瞬时变化率，是导数

，是曲线上在点

处切线的斜率. 问题11、如何计算切线斜率?

生：利用网格估计,求曲线上1点处的切线斜率可用直线上任意2点，比如可选切线与y轴的交点等.

师生：一起求出各个点的切线斜率，得到各个时刻的瞬时膨胀率，即

，并列出表格来呈现

V与

的关系.

设计意图：表格的呈现有助于观察导函数的单调性、可帮助学生猜想并据此画出导函数图象的大致形状，其次，列表是函数的表示方法之一（列表、图象、解析式），帮助学生体会“当

变化时, 便是

的一个函数”，使学生自然而然的理解导函数概念.

师：从求函数

在

处导数的过程可以看到，当

时，

是一个确定的数，（“光滑曲线在其上一点P处切线”只有一条），这样，当

变化时,

便是

的一个函数，称它为

的导函数. 请同学看书本导函数的定义. 问题12、你能由表格画出

的大致形状吗？（引导学生描点作图，关注

的定义域、值域、单调性、与x轴、y轴的交点等函数性质）

设计意图：让学生同时观察表格与r(V)的图象可使学生进一步感受

>0,

r(V)在 处附近递增，及

的绝对值大小影响了递增或递减速度的快慢. 学生练习：（课本P8例3）验证表格中给出的t=0.2、0.4、0.6 min 时药物浓度的瞬时变化率估计值是否正确，并试着画出

图象的大致形状.

设计意图：增强了学生读图、读表的能力，为接下来导数在研究函数中的应用(单调性)作了铺垫.也为学生顺利完成课后作业提供练***台.

（四）总结

先由学生口头总结，然后教师归纳总结：

1、切线定义（无限逼近的方法定义切线，反映了切线的直观本质）. 2、导数几何意义是曲线

在点P

处切线的斜率.(是函数

在

处的瞬时变化

率). 3、以直代曲：曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线，研究曲线在一点附近的变化趋势(函数单调性)及一点附近的变化快慢（“陡峭”程度.）

思考：你能尝试着描述曲线

的凹凸性与

增减性的关系吗？

（五）作业：课本P10.A组5、6； B组2、3