3.2.2 直线的两点式方程精品学案

3.2.2

直线的两点式方程

学习目标

1.掌握直线方程的两点式的形式，了解其适用范围.2.了解直线方程截距式的形式，特征及其适用范围(重点).3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标(重点)．

预习教材P95－P97完成下面问题：

知识点1

直线的两点式方程和截距式方程

名称

条件

方程

【预习评价】

1．过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？

提示

不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示．

2．截距式方程能否表示过原点的直线？

提示

不能，因为ab≠0，即有两个非零截距．

知识点2

线段的中点坐标公式

若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则＋x，x＝x

2

y＋yy＝

2

.1212两点式

两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2) y－y1x－x1＝

y2－y1x2－x1截距式

A(a,0)，B(0，b)且ab≠0 xy＋＝1 ab

题型一

直线的两点式方程

【例1】

已知三角形的顶点是A(1,3)，B(－2，－1)，C(1，－1)，求这个三角形三边所在直线的方程．

y－3x－1解

直线AB过A(1,3)，B(－2，－1)，由两点式＝，整理，得4x－3y＋5－1－3－2－1＝0，这就是直线AB的方程．直线AC垂直于x轴，其方程为x＝1.直线BC平行于x轴，其方程为y＝－1.

1

规律方法

利用两点式求直线方程

当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．

【训练1】

过(1,1)，(2，－1)两点的直线方程为(

) A．2x－y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋3＝0 D．x＋2y－3＝0 y＋1x－2解析

∵直线过两点(1,1)和(2，－1)，∴直线的两点式为＝，整理得2x＋y1－－11－2－3＝0，故选C．

答案

C 典例迁移

题型二

直线的截距式方程

【例2】

求过点A(3,4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．

xy解

(1)当直线l在坐标轴上截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋＝a－a341.又l过点A(3,4)，所以＋＝1，解得a＝－1. a－axy所以直线l的方程为＋＝1，

－11即x－y＋1＝0. 4(2)当直线l在坐标轴上截距互为相反数且为0时，直线的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 3【迁移1】

若将点A的坐标改为“A(－3，－4)”，其他条件不变，又如何求解？

xy解

(1)当直线l在坐标轴上截距互为相反数且不为0时，设直线为＋＝1，又知la－a－3－4过点A(－3，－4)，所以＋＝1，解得a＝1. a－axy所以直线的方程为＋＝1，即

1－1x－y－1＝0. (2)当过原点时，设y＝kx，由于过(－3，－4)，

4解得：k＝. 3

2

∴直线方程为4x－3y＝0，

∴直线方程为x－y－1＝0或4x－3y＝0. 【迁移2】

若将例2中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？

解

(1)当截距不为0时，设

xy直线为＋＝1，又知l过(3,4)，

aa34∴＋＝1，解得a＝7，

aa∴直线方程为x＋y－7＝0. 4(2)当截距为0时，直线方程为y＝x，即4x－3y＝0. 3规律方法

零截距的重要性：

题中“非零截距”和“零截距”的分类因素注意挖掘进行分类讨论，如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时，采用截距式求直线方程，一定要注意考虑“零截距”的情况．

题型三

直线方程的综合应用

【例3】

已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．

y－2x－0解

如图，过B(3，－3)，C(0,2)的两点式方程为＝，

－3－23－0

整理得5x＋3y－6＝0. 这就是BC边所在直线的方程．

BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标3＋0－3＋2y－0x＋53131为(，)，即(，－)．过A(－5,0)，M(，－)的直线的方程为＝，

22222213－－0＋522即x＋13y＋5＝0. 这就是BC边上中线所在直线的方程．

规律方法

直线方程的选择技巧

(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率．

(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者

3

截距．

(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程．

(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．

【训练2】

求过点A(4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．

解

当直线过原点时，它在x轴、y轴上的截距都是0，满足题意．

11此时，直线的斜率为，所以直线l的方程为y＝x，即x－2y＝0. 22xy当直线不过原点时，由题意可设直线方程为＋＝1. ab42又因为过点A，所以＋＝1.

①

ab因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，

所以|a|＝|b|.

②

由①②联立方程组，

a＝6，a＝2，解得或

b＝6b＝－2.

xyxy所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，

662－2化简得直线l的方程为x＋y＝6或x－y＝2，

即直线l的方程为x＋y－6＝0或x－y－2＝0，

综上，直线l的方程为x－2y＝0或x＋y－6＝0或x－y－2＝0.

课堂达标

1．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为(

) A．y＝x＋3 C．y＝x＋2 B．y＝－x＋1 D．y＝－x－2 y－1x＋2解析

代入两点式得直线方程＝，整理得y＝x＋3. 4－11＋2答案

A 2．经过P(4,0)，Q(0，－3)两点的直线方程是(

) xyA．＋＝1 43xyC．－＝1 43xyB．＋＝1 34xyD．－＝1 34

4

xy解析

由点坐标知直线在x轴，y轴上的截距分别为4，－3，所以直线方程为＋＝4－3xy1，即－＝1. 43答案

C 3．过点P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有(

) A．1条

C．3条

B．2条

D．4条

xy解析

当直线过原点时显然符合条件；当直线不过原点时，设所求直线的方程为＋＝aa1，把点P(4，－3)代入方程得a＝1.因而所求直线有2条．

答案

B 4．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是________．

4解析

①若直线过原点，则k＝－，

34∴y＝－x，即4x＋3y＝0. 3xy②若直线不过原点，设＋＝1，即x＋y＝a. aa∴a＝3＋(－4)＝－1，∴x＋y＋1＝0. 答案

4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0 5．直线l经过点A(－3,4)，且在x轴上截距是在y轴截距的2倍，求该直线的方程．

4解

当直线经过原点时，直线方程为：y＝－x. 3xy当直线不经过原点时，设直线方程为：＋＝1，

2aa把点A(－3,4)代入，得

－34＋＝1，

2aa5解得a＝. 2∴直线方程为x＋2y＝5. 综上可得直线方程为：4x＋3y＝0，或x＋2y－5＝0. 课堂小结

与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点：

(1)明确直线方程各种形式的适用条件

点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．

5

(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．

(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．

基础过关

1．经过两点(5,0)，(2，－5)的直线方程为(

) A．5x＋3y－25＝0 C．3x－5y－25＝0 B．5x－3y－25＝0 D．5x－3y＋25＝0 y－0x－5解析

经过两点(5,0)，(2，－5)的直线方程为：＝，

－5－02－5整理，得5x－3y－25＝0. 故选B．

答案

B 2．已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是(

) A．1 C．－2或－1 B．－1 D．－2或1 xy解析

把直线l：ax＋y－2＝0化为＋＝1，

22a∵直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，

2∴＝2，解得a＝1，故选A．

a答案

A 3．点M(4，m)关于点N(n，－3)的对称点为P(6，－9)，则(

) A．m＝－3，n＝10 C．m＝－3，n＝5 B．m＝3，n＝10 D．m＝3，n＝5 4＋6m－9解析

∵M(4，m)关于点N(n，－3)的对称点为P(6，－9)，∴＝n，＝－3；

22∴n＝5，m＝3，故选D．

答案

D 4．在y轴上的截距是－3，且经过A(2，－1)，B(6,1)中点的直线方程为________．

解析

由于A(2，－1)，B(6,1)，故线段AB中点的坐标为(4,0)，

又直线在y轴上的截距是－3，

xy∴直线方程为－＝1，即3x－4y－12＝0. 43

6

答案

3x－4y－12＝0 5．过点P(3,2)，且在坐标轴上截得的截距相等的直线方程是________．

2－022解析

当直线过原点时，斜率等于＝，故直线的方程为y＝x. 33－03当直线不过原点时，设直线的方程为x＋y＋m＝0，把P(3,2)代入直线的方程得m＝－5，

故求得的直线方程为x＋y－5＝0，

2综上，满足条件的直线方程为y＝x或x＋y－5＝0. 32答案

y＝x或x＋y－5＝0 36．求经过点A(－2,3)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．

解

(1)当横截距、纵截距都是零时，

设所求的直线方程为y＝kx，

3将(－2,3)代入y＝kx中，得k＝－，

23此时，直线方程为y＝－x，

2即3x＋2y＝0. (2)当横截距、纵截距都不是零时，

xy设所求直线方程式为＋＝1，

2aa将(－2,3)代入所设方程，解得a＝2，

此时，直线方程为x＋2y－4＝0，

综上所述，所求直线方程为x＋2y－4＝0或3x＋2y＝0. 7．求经过点A(－2,3)，B(4，－1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式．

y＋1x－4解

过A，B两点的直线的两点式方程是＝. 3＋1－2－42点斜式为：y＋1＝－(x－4)，

325斜截式为：y＝－x＋，

33xy截距式为：＋＝1. 5523能力提升

xyxy8．两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是(

) abba

7

xyxy解析

化为截距式＋＝1，＋＝1. a－bb－a假定l1的位置，判断a，b，从而确定l2的位置，知A项符合．

答案

A 9．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是(

) 1－1，

A．51，＋∞

C．(－∞，1)∪51－∞，∪(1，＋∞) B．21，＋∞

D．(－∞，－1)∪2解析

设直线的斜率为k，如图，过定点A的直线经过点B时，直线l在x轴上的截距1为3，此时k＝－1；过定点A的直线经过点C时，直线l在x轴的截距为－3，此时k＝，21满足条件的直线l的斜率范围是(－∞，－1)∪2，＋∞.

答案

D 10．垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是________．

解析

设直线方程是4x＋3y＋d＝0，分别令x＝0和y＝0，得直线在两坐标轴上的截距dd1ddd2分别是－，－，∴6＝×|－|×|－|＝，∴d＝±12，则直线在x轴上的截距为3或－3. 3423424答案

3或－3 11．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．

xy解析

直线AB的方程为＋＝1，

34

8

3设P(x，y)，则x＝3－y，

433∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y) 443＝[－(y－2)2＋4]≤3. 43即当P点坐标为2，2时，xy取得最大值3. 答案

3 12．在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：

(1)顶点C的坐标；(2)直线MN的方程．

解

(1)设C(x0，y0)，则AC边的中点为MBC边的中点为Nx0＋7y0＋32，2，

x0＋5y0－22，2，

x0＋5因为M在y轴上，所以＝0得x0＝－5. 2y0＋3又因为N在x轴上，所以＝0，

2所以y0＝－3.即C(－5，－3)．

50，－，N(1,0)，

(2)由(1)可得M2xy所以直线MN的方程为＋＝1. 15－2113．(选做题)已知直线l：y＝－x＋1，试求：

2(1)点P(－2，－1)关于直线l的对称点坐标；

(2)直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；

(3)直线l关于点A(1,1)对称的直线方程．

解

(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x0，y0)，则线段PP′的中点M在直线l上，且PP′⊥l. y＋11×－＝－1，x＋22∴y－11x－2＝－·＋1，2220000

x＝5，解得19y＝5，002

219即P′点的坐标为(，)．

55直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线为l2，则l2上任一点P1(x，y)关于l的对称点

9

P1′(x′，y′)一定在直线l1上，反之也成立．

y－y′1×－＝－1，x－x′2由y＋y′1x＋x′＝－·＋1，2224y＋4，x′＝3x－5得－4x－3y＋8y′＝.5

把(x′，y′)代入方程y＝x－2并整理，得：7x－y－14＝0，

即直线l2的方程为7x－y－14＝0. (3)设直线l关于点A(1,1)的对称直线为l′，直线l上任一点P2(x1，y1)关于点A的对称点P2′(x，y)一定在直线l′上，反之也成立．

x＝1，x＋2由y＋y2＝1，11

x1＝2－x，得

y＝2－y.1

将(x1，y1)代入直线l的方程得：x＋2y－4＝0，

∴直线l′的方程为x＋2y－4＝0.

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