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空间几何体的表面积与体积

教学目标

1．了解球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式，并掌握空间几何体的表面积与体积的计算方法．

2．理解空间图形转化为平面图形的思想，了解柱、锥、台体的侧面积展开图的特征．

教学过程 1．柱、锥、台和球的侧面积和体积

面积

圆柱

S侧＝

体积

V＝

＝πr2h

12V＝

＝πrh

31＝πr2l2－r2

31V＝(S上＋S下＋S上S下)h

312＝π(r21＋r2＋r1r2)h

3圆锥

S侧＝

圆台

S侧＝π(r1＋r2)l

面积

体积

V＝

V＝

直棱柱

S侧＝

正棱

锥

正棱

台

球

S侧＝

11S侧＝(C＋C′)h′

V＝(S上＋S下＋S上S下)h

23S球面＝

4V＝πR3

3

2.几何体的表面积

(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是 . (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 、 、

；它们的表面积等于 与底面面积之和．

当堂检测

1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(

) A．7

C．5 B．6 D．3 解析：设圆台较小底面半径为r，

则另一底面半径为3r. 由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7. 2．(2016·高考全国卷Ⅱ)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(

) A．12π

C．8π

B．32π

3D．4π

解析：先利用正方体外接球直径等于正方体体对角线长，求出球的半径，再用球的表面积公式求解．

设正方体棱长为a，则a3＝8，所以a＝2. 所以正方体的体对角线长为23，所以正方体外接球的半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2＝12π，故选A. 3．如图是一几何体的三视图，则该几何体的体积是(

)

A．9 B．10 C．12 D．18 解析：由三视图还原出几何体的直观图如图，SD⊥平面ABCD，AB11与DC平行，AB＝2，DC＝4，AD＝3，SD＝3，所求体积V＝3×2×(2＋4)×3×3＝9.

4．(2018·青岛模拟)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是________．

解析：由给定的三视图可知此三棱锥的直观图如图所示，满足平面SAC⊥平面ABC，△ABC为等腰三角形且AB＝BC，AC＝8，在△ABC中，AC边上的高为6，三棱锥S-ABC的高为4，故该三棱锥的111体积V＝3×4×S△ABC＝3×4×2×8×6＝32. 5.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．

解析：由正视图知三棱锥的形状如图所示，且AB＝AD＝BC＝CD＝2，BD＝23，设O为BD的中点，连接OA，OC，则OA⊥BD，OC⊥BD，结合正视图可知AO⊥平面BCD. 又OC＝CD2－OD2＝1，

113×23×1∴V三棱锥A-＝××1＝BCD323. 

小结：

1．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错．

2．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误．

3．易混侧面积与表面积的概念．

直面高考

1.(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(

) A．90π

C．42π

B．63π

D．36π

2．(2017·高考浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(

)

ππ3π3πA.＋1

B.＋3 C.＋1

D.＋3 22223.如图，半球内有一内接正四棱锥S-ABCD，该四棱锥的体积为42，则该半球的体积为________．

3

归纳：

1.空间几何体体积问题的3种类型及解题策略

(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．

(2)求组合体的体积．若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解．

(3)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．

2．由三视图求相关几何体的表面积

给出三视图时，依据“正视图反映几何体的长和高，侧视图反映几何体的高和宽，俯视图反映几何体的长和宽”来确定表面积公式中涉及的基本量．

3．根据几何体的特征求表面积

(1)求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积