3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计｜教案在线预览

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3.2立体几何中的向量方法空间距离利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题．例１如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．分析：由题设可知CG、CB、CD两两互相

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所属课文：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

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学校：张家界市民族中学

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计

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关键词：3.1.4 空间向量的正…教学设计

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3.2立体几何中的向量方法

空间距离

利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题．

例１如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．

分析：由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B且垂直于平面EFG的向量，它的长即为点B到平面EFG的距离．

解：如图，设CD4i，CB4j，CG2k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系C－xyz．

由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．

∴

BE(2,0,0)，BF(4,2,0)，

BG(0,4,2)，GE(2,4,2)，

EF(2,2,0)．

设BM平面EFG，M为垂足，则M、G、E、F四点共面，由共面向量定理知，存在实数a、b、c，使得BMaBEbBFcBG(abc1)，

∴

BMa(2,0,0)b(4,2,0)c(0,4,2)＝(2a+4b,－2b－4c,2c)．

由BM平面EFG，得BMGE，BMEF，于是

BMGE0，BMEF0．

(2a4b,2b4c,2c)(2,4,2)0∴

(2a4b,2b4c,2c)(2,2,0)0

abc115a11a5c07整理得：a3b2c0，解得b．

11abc13c11∴

BM＝(2a+4b,－2b－4c,2c)＝(226,,)．

111111

211226∴

|BM|

11111111222故点B到平面EFG的距离为211．

11说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了．

例2已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，求直线DA'与AC的距离．

分析：设异面直线DA'、AC的公垂线是直线l，则线段AA'在直线l上的射影就是两异面直线的公垂线段，所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解．

解：如图，设B'A'i，B'C'j，B'Bk，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系B'－xyz，则有

A'(1,0,0)，D(1,1,1)，A(1,0,1)，C(0,1,1)．

∴

DA'(0,1,1)，AC(1,1,0)，A'A(0,0,1)．

设n(x,y,z)是直线l方向上的单位向量，则x2y2z21．

∵

nDA'，nAC，

yz033∴

xy0，解得xyz或xyz．

33x2y2z21取n(333,,)，则向量A'A在直线l上的投影为

333

n·A'A(3333．

,,)·(0,0,1)33333．

3由两个向量的数量积的几何意义知，直线DA'与AC的距离为

关于本教案的常见问题

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