3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学设计(第二课时)

3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

学习目标：1.理解并掌握基本初等函数导数公式2.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．(重点、难点) [自

主

预

习·探

新

知] 1.基本初等函数的导数公式

原函数

导函数

f(x)＝c f(x)＝xn(n∈Q*)

f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax

f(x)＝ex

f(x)＝logax f(x)＝ln x

2.导数的运算法则

(1)设两个函数f(x)，g(x)可导，则

和的导数

差的导数

积的导数

商的导数

f′(x)＝0 f′(x)＝nxn－1

f′(x)＝cos_x

f′(x)＝－sin_x

f′(x)＝axln_a(a>0) f′(x)＝ex

f′(x)＝(a>0，且a≠1) xln af′(x)＝

x11[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x) [f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x) [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) fx′＝fgxxgx－fxg2[gxx(g(x)≠0)

(2)常数与函数的积的导数

[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数) 1思考：根据商的导数的运算法，试求函数y＝的导数．

x1[提示]

y′＝′＝xx－x2x1＝－2. x[基础自测] 1．思考辨析

(1)若f(x)＝a＋2ax＋x，则f′(a)＝2a＋2x. (2)22(

) (

) x1′＝－f2(f(x)≠0)． [fxfx

1

(3)运用法则求导时，不用考虑f′(x)，g′(x)是否存在．

[答案]

(1)×

(2)√

(3)×

2．函数y＝x·ln x的导数是(

) 1A．x

B.

C．ln x＋1

D．ln x＋x

(

) xC

[y′＝(x)′×ln x＋x×(ln x)′＝ln x＋1.] 3．函数y＝x＋sin x的导数为(

) A．y′＝4x C．y′＝4x＋sin x 43334B．y′＝cos x

D．y′＝4x＋cos x

3D

[y′＝(x)′＋(sin x)′＝4x＋cos x．] 94．函数y＝的导数为__________. x【导学号：97792139】

y′＝－2

[y′＝x99′×x－9×x′x29＝－2] x[合

作

探

究·攻

重

难]

利用导数的运算法则求导数

求下列函数的导数：

1xx(1)y＝2＋sin cos ；

x2223(2)y＝xx－x－6＋2；

2(3)y＝cos xln x；

(4)y＝x. exxx1[解] (1)y′＝2＋sin cos ′

22x1－2＝(x)′＋sin x′

21－3＝－2x＋cos x

221＝－3＋cos x. x2332(2)y′＝x－x－6x＋2′

2

2

323＝(x)′－x′－(6x)′＋(2)′

2＝3x－3x－6. (3)y′＝(cos xln x)′

＝(cos x)′ln x＋cos x(ln x)′

cos x＝－sin xln x＋. 2xxx(4)y′＝x′＝ee－xe1－x＝＝x. 2xeexxx－xx2x

[规律方法]

利用导数运算法则的策略

(1)分析待求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式．

(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．

(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．

[跟踪训练] 1．(1)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝(

) A．－e

C．1 B．－1 D．e 1B

[f′(x)＝2f′(1)＋，则f′(1)＝2f′(1)＋1，所以f′(1)＝－1.] x(2)求下列函数的导数．

cos x3x①y＝x·e.②y＝. x【导学号：97792140】

[解] ①y′＝(x·e)＝(x)′·e＋x·(e)′

＝3x·e＋x·e＝e(x＋3x)．

②y′＝＝23x3x3xx3xx32cos x′

xxx－cos xx2x′

3

＝－x·sin x－cos xxsin x＋cos x＝－. 22xx

导数运算法则的应用

(1)设曲线y＝(

) 11A．2

B.

C．－

D．－2 22(2)若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标为__________．

1[思路探究] (1)切线与直线ax＋y＋1＝0垂直⇒切线的斜率为.(2)切线与直线2x－yx＋1在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于x－1a＋1＝0平行⇒切线的斜率为2. [解析]

(1)y′＝－2x－，

x＋1′＝x－1x＋x－－x＋x－2x－＝21则y′|x＝3＝－，又切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，

211故＝－，所以a＝－2，故选D. a2(2)设P(x0，y0)，由y′＝(xln x)′＝ln x＋1，得

y′|x＝x0＝ln x0＋1，由题意知ln x0＋1＝2 解得x0＝e，y0＝e，故P(e，e) [答案]

(1)D (2)(e，e) [规律方法]

关于求导法则的综合应用

(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．

(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．

易错警示：分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上则要设出切点．

[跟踪训练] 2．设f(x)＝x＋ax＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数32a，b∈R，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．

[解] 因为f(x)＝x＋ax＋bx＋1，

4 32

所以f′(x)＝3x＋2ax＋b. 令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，

又因为f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3. 令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b. 又因为f′(2)＝－b，

3所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－. 23253所以f(x)＝x－x－3x＋1，f(1)＝－. 22又因为f′(1)＝2a＝－3，

所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为

2y－－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.

利用导数求曲线上的点到某直线的距离最值问题

[探究问题] 若曲线C上存在一点P到直线l的距离最短，则曲线C在点P处的切线和直线l有怎样的关系？

提示：平行

设点P是曲线y＝e＋1上任意一点，求点P到直线y＝x－1的最小距离．

[思路探究] 与直线y＝x－1平行且与曲线y＝e＋1相切的切线上的切点即为所求．

[解] 设与直线y＝x－1平行的直线与曲线y＝e＋1相切于点P(x0，y0)，

由y′＝e得y′|x＝x0＝ex0，由题意知ex0＝1，

解得x0＝0，代入y＝e＋1得y＝2，所以P(0,2)，

故点P到直线y＝x－1的最小距离为

xxxxx52d＝|0－2－1|32＝. 22[规律方法]

利用导数解决曲线上的点到某

直线的距离最值问题的解题策略

利用导数可解决与距离、面积相关的最值问题，解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．

[跟踪训练] 3．求抛物线y＝x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离. 【导学号：97792141】

[解] 依题意知抛物线y＝x与直线x－y－2＝0平行的切线的切点到直线x－y－2＝0

5 22

的距离最短，设切点坐标为(x0，x0)．

12∵y′＝(x)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝，

2211∴切点坐标为，，∴所求的最短距离为

24d＝1－1－224722＝8. [当

堂

达

标·固

双

基] 1．下列运算中正确的是(

) A．(ln x－3sin x)′＝(ln x)′－3′·(sin x)′

B．(ax＋bx＋c)′＝a(x)′＋bx′

2sin xsin x′－x′C．2′＝

x2x22D．(cos x·sin x)′＝(sin x)′cos x＋(cos x)′cos x

B

[根据导数的运算法则知B正确．] 2．已知f(x)＝x＋3＋ln 3，则f′(x)为(

) A．3x＋3

C．3x＋3ln 3 3223xx12xB．3x＋3ln 3＋

3D．x＋3ln 3 x23xxC

[f′(x)＝(x)′＋(3)′＋(ln 3)′＝3x＋3ln 3，故选C.] 3．函数f(x)＝xe的导函数f′(x)＝__________. (1＋x)e

[f′(x)＝(xe)′＝e＋xe＝(1＋x)e.] 14．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________. 2ln 2－1

[设切点为(x0，y0)，

111∵y′＝，∴＝，

x2x01∴x0＝2，∴y0＝ln 2，ln 2＝×2＋b，∴b＝ln 2－1.] 2xxxxxxxπ125．设f(x)＝ax－bsin x，且f′(0)＝1，f′＝，求a，b的值. 32

【导学号：97792142】

[解] f′(x)＝2ax－bcos x，则

f＝－b＝1，π2aππ1f′＝－bcos ＝，3323

6

b＝－1，即2a11π－b＝，223

b＝－1，解得a＝0.

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