1.2.1 充分条件与必要条件PPT及专用教学设计内容

第2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

1．了解命题的概念．

2．了解四种命题，会分析四种命题的相互关系．

3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义，能初步判断给定的两个命题的关系．

知识梳理

1．命题及其真假

(1)命题：在数学上，用

语言、符号或式子

表达的，可以判断

真假

的

陈述句

叫做命题．

(2)真命题：判断为真的语句叫做

真命题

. (3)假命题：判断为假的语句叫做

假命题

. 2．四种命题的形式

(1)原命题：“若p，则q”，其中p为命题的条件，q为命题的结论．

(2)逆命题：“若q，则p”，即交换原命题的条件和结论．

(3)否命题：“若﹁p，则﹁q”，即同时否定原命题的条件和结论．

(4)逆否命题：“若﹁q，则﹁p”，即交换原命题的条件和结论后，再同时加以否定．

3．四种命题的关系

4．四种命题的真假关系

(1)互为逆否的两个命题的真假性

相同

. (2)互逆或互否的两个命题的真假性

没有关系

. (3)四种命题的真假成对出现，即原命题与逆否命题的真假性

相同

，逆命题与否命题的真假性

相同

. 5．充分条件与必要条件

(1)如果p⇒q，则p是q的

充分

条件，同时q是p的

必要

条件．

(2)如果p⇒q，但q

p，则p是q的

充分必要

条件．

(3)如果p⇒q，且q⇒p，则称p是q的

充要

条件．

(4)如果q⇒p，且p

q，则p是q的

必要不充分

条件．

(5)如果p

q，但q

p，则p是q的既不充分也不必要条件．

1．若p是q的充分不必要条件，则﹁p是﹁q的

必要不充分

条件．

2．若p，q以集合的形式出现，记条件p、q对应的集合分别为P，Q，一般地有，

若P⊆Q，则p是q的

充分

条件；

若Q⊆P，则p是q的

必要

条件；

若PQ，则p是q的

充分不必要

条件；

若PQ，则p是q的

必要不充分

条件；

若P＝Q，则p是q的

充要

条件．

热身练习

1．下列语句中，不能构成命题的是(C) 11A．5>12

B．若＝，则x＝y

xyC．x>0

D．若x

一个语句是不是命题，关键是看能否判断真假，因为x>0无法判断真假，因此不能构成命题．

2．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(D) A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0 B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0 C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0 D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0

根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．故选D. 3．已知命题p：若x＝－1，则向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则在命题p的原命题，逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数为(B) A．0

B．2 C．3

D．4

原命题：若x＝－1，向量a＝(1，－1)，b＝(1，－1)，a与b共线，所以原命题为真，故逆否命题也为真．

逆命题为：若向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则x＝－1.当a与b共线时，x(x＋2)＝x，解得x＝0或－1.所以逆命题为假命题，从而否命题也为假命题．

故真命题的个数为2. 4．(2016·四川卷)设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x＋y＞2，则p是q的(A) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

x＞1，

因为所以x＋y＞2，即p⇒q. y＞1，

而当x＝0，y＝3时，有x＋y＝3＞2，但不满足x＞1且y＞1，即qp.故p是q的充分不必要条件．

5．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的(C) A．充分必要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

根据充分、必要条件的定义直接利用数轴求解即可．

将p，q对应的集合在数轴上表示出来如图所示，

易知，当p成立时，q不一定成立；当q成立时，p一定成立，故p是q成立的必要不充分条件．

(2)x＝y⇒cos x＝cos y，而cos x＝cos y



x＝y，

利用四种命题的等价关系得：

cos x≠cos y⇒x≠y，x≠y

cos x≠cos y. 所以“x≠y”是“cos x≠cos y”必要而不充分条件．

(1)B

(2)B

(1)判断充要条件的方法：

①定义法(这是基本方法)；②集合法(根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断)；③转换法．

(2)判断充要条件时，要注意如下技巧：

①等价化简：先将条件和结论等价化简，然后根据定义进行判断；

②等价转化：根据“四种命题”中互为逆否的两个命题是等价的，把判断命题的正确性，转化为判断其逆否命题的正确性．这种方法特别适合以否定形式给出的命题．

2．(1)“x<0”是“ln(x＋1)<0”的(B) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

(2)如果a，b是实数，那么“a≠0”是“ab≠0”的(B) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

(1)ln(x＋1)<0⇔0

x<0

－1

所以“x<0”是“ln(x＋1)<0”的必要而不充分条件．

(2)a＝0⇒ab＝0，但ab＝0

a＝0，

其逆否命题为ab≠0⇒a≠0，a≠0ab≠0，

故“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件．

根据充要条件求解参数的取值范围

已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若﹁p是﹁q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为____________．

p对应的集合为A＝{x|－2≤x≤10}，q对应的集合为B＝{x|1－m≤x≤1＋m}，

因为﹁p是﹁q

的必要不充分条件，

所以﹁q⇒﹁p但﹁p﹁q

由互为逆否的两个命题的等价关系可知，

p⇒q，但qp，所以AB. 1－m≤－2，所以解得m≥9. 1＋m≥10，

检验m＝9时，满足AB. 因此，实数m的取值范围是[9，＋∞)．

[9，＋∞)

(1)充分条件、必要条件或充要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，求解一般步骤为：

①首先要将p，q等价化简；

②将充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的包含关系；

③列出关于参数的等式或不等式组，求出参数的值或取值范围．