1.2.1 充分条件与必要条件教案1

1.2充分条件与必要条件

1．会判断命题“p∧q”“p∨q”“¬p”的真假．(重点) 2．理解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义．(难点) 3．掌握命题的否定与否命题的区别．(易混点) 讲述新课

一．充分条件与必要条件

[提出问题] 在物理中，我们经常遇到这样的电路图：

问题1：图中A开关闭合时B灯一定亮吗？

提示：一定亮．

问题2：B灯亮时A开关一定闭合吗？

提示：不一定，还可能是C开关闭合．

[导入新知] 充分条件与必要条件

命题真假

推出关系

条件关系

[化解疑难] 1．p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立，但是如果没有p，q也可能成立”．

2．q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”，或者说“若q不成立，则p一定不成立”；但即使有q成立，p未必会成立. 知识点二：充要条件

[提出问题]

如图是一物理电路图．

问题1：图中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合吗？

提示：一定闭合．

“若p，则q”是真命题

“若p，则q”是假命题

p⇒q p是q的充分条件

p不是q的充分条件

p⇒/_q

q是p的必要条件

q不是p的必要条件

问题2：开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q，你能判断p，q之间的推出关系吗？

提示：p⇔q. [化解疑难] 根据充要条件的意义，如果原命题“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”都是真命题，那么p，q互为充要条件．

题型一：充分条件、必要条件、充要条件的判断

[例1]

判断下列各题中p是q的什么条件．

(1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC；

(2)p：x>1，q：x2>1；

(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；

a(4)p：a

(1)由三角形中大角对大边可知，若A>B，则BC>AC；反之，若BC>AC，则A>B.因此，p是q的充要条件．

(2)由x>1可以推出x2>1；由x2>1，得x<－1，或x>1，不一定有x>1.因此，p是q的充分不必要条件．

(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2，或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．

aaa(4)由于a1；当b>0时，<1，故若a0，b>0，bbbaa<1时，可以推出ab.因此p是q的既不充分也不必bb要条件．

[类题通法] 充要条件的判断方法

判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用．

[活学活用] 指出下列各组命题中，p是q的什么条件．

(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；

(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.

解：(1)∵四边形的对角线相等⇒/ 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形⇒/ 四边形的对角线相等，

∴p是q的既不充分也不必要条件．

(2)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)·(y－2)＝0，

而(x－1)(y－2)＝0⇒/ (x－1)2＋(y－2)2＝0，

∴p是q的充分不必要条件. 题型二.充要条件的证明

[例2]

试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. [证明]

(1)必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac>0，cx1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)，所以ac<0. ac(2)充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)．所以方程aax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，

即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. [类题通法] 充要条件的证明思路

(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p⇒q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．

(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．

[活学活用] 11已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0. xyy－x1111证明：(1)必要性：由<，得－<0，即<0，

xyxyxy又由x>y，得y－x<0，所以xy>0. (2)充分性：由xy>0及x>y，

xy11得>，即<. xyxyxy11综上所述，<的充要条件是xy>0. xy题型三：充分、必要条件的应用

[例3]

已知关于x的不等式p：|2x－3|

[解]

设|2x－3|

当m≤0时，A＝∅，符合题意；

当m>0时，A＝x3－m3＋m，

3－m3＋m因为＝0，即m＝3时，＝3，A＝B，

22所以要使AB，应有3＋m<3，2m>0，3－m>0，2

得0

[类题通法] 根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．

[活学活用] 已知P＝{x|a－4

解：由题意知，Q＝{x|1

a－4≤1，所以解得－1≤a≤5. a＋4≥3，

故实数a的取值范围是[－1,5].