小结教学评价实录

空间直角坐标系的应用

——求空间角

一、教学目标

1.知识与技能

(1)理解直线与平面所成角的概念．

(2)能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角求法问题．

(3)体会空间向量解决立体几何问题的三步曲．

2．过程与方法

经历规律方法的形成推导过程、解题的思维过程，体验向量的指导作用．

3．情感、态度与价值观

通过学习向量及其运算由平面向空间推广的过程，逐步认识向量的科学价值、应用价值和文化价值，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心．

二、教学重、难点

教学重点：向量法求解线线、线面、面面的夹角．

教学难点：线线、线面、面面的夹角与向量夹角的关系．

空间角的向量求法

三、课型

复习课

四、教学方法

讲练接合法

五、课时

一课时

六、教学过程

（一）知识梳理

1．两条异面直线所成角的求法

设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

范围

求法

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l1与l2所成的角θ

a与b的夹角β

[0，π]

cos β＝a·b

|a||b|0，π

2|a·b|cos θ＝

|a||b|

2.直线与平面所成角的求法

设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝|a·n|. |a||n|3．求二面角的大小

→→(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB，CD〉．

(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．

（二）基础自测

1、已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为(

) A．45°

C．45°或135°

答案

C 12m·n解析

cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°. |m||n|1·22∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°. 12、已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的2角为________．

答案

30°

1解析

设l与α所成角为θ，∵cos〈m，n〉＝－，

21∴sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，∵0°≤θ≤90°，∴θ＝30°. 2（

三）题型分类

深度剖析

题型一

求异面直线所成的角

B．135°

D．90°

1.在正方体A1B1C1D1－ABCD中，AC与B1D所成的角的大小为(

) πA.6

πB.4

πC.3

π

D.2

解析

建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为1，则A(0，0，0)，C(1，1，0)，B1(1，0，1)，D(0，1，0).

→＝(1，1，0)，B→∴AC1D＝(－1，1，－1)，

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∵AC→·B→1D＝1×(－1)＋1×1＋0×(－1)＝0，

∴AC→⊥B→1D，

∴AC与Bπ1D所成的角为2. 答案

D 思维升华

用向量法求异面直线所成角的一般步骤

(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；

(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；

(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．

题型二

求直线与平面所成的角

2、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为(

) A.32

B.33

C.35

D.25

解析

设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则B(1，1，0)，B1(1，1，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，

所以BB→1＝(0，0，1)，AC→＝(－1，1，0)，AD→1＝(－1，0，1).

令平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AC→＝－x＋y＝0，n·AD→1＝－x＋z＝0，令x＝1，可得n＝(1，1，1)，

所以sin θ＝|cos〈n，BB→131〉|＝3×1＝3. 答案

B 思维升华

若直线l与平面α的夹角为θ，直线l的方向向量l与平面α的法向量n的夹角为β，则θ＝π2－β或θ＝β－π|2，故有sin θ＝|cos β|＝l·n||l||n|. 题型三

求二面角

3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(

) A.12

B.23

C.33

解析

以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系

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D.22

A－xyz，设棱长为1，

则A1(0，0，1)，

1E1，0，2，D(0，1，0)，

→∴A1D＝(0，1，－1)，

1→A1E＝1，0，－2，

y－z＝0，→AD·n＝0，11设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，所以有即解得1→1－2z＝0，A1E·n1＝0，y＝2，

z＝2.∴n1＝(1，2，2).

∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，

22∴

cos〈n1，n2〉＝＝3.

3×12即所成的锐二面角的余弦值为3. 答案

B 思维升华

利用向量法求二面角的大小的关键是确定平面的法向量，求法向量的方法主要有两种：①求平面的垂线的方向向量；②利用法向量与平面内两个不共线向量的数量积为零，列方程组求解．

（四）课堂练习——利用空间向量求空间角

例

如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE与AD的交点，AC⊥BC，且AC＝BC. (1)求证：AM⊥平面EBC；

(2)求直线AB与平面EBC所成角的大小；

(3)求二面角A—EB—C的大小. 解：（1）略

∴可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以AC和AE所在直线为y轴和z轴，建立空间直角坐标系Axyz. 设EA＝AC＝BC＝2，

则A(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,0,2). ∵M是正方形ACDE的对角线的交点，

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∴M(0,1,1). (2)求直线AB与平面EBC所成角的大小；

解

∵AM⊥平面EBC，

∴AM为平面EBC的一个法向量. ∵AM＝(0,1,1)，AB＝(2,2,0)，

∴cos〈AB，AM〉＝AB•AM/|AB|•|AM|＝12. ∴〈AB，AB〉＝60°. ∴直线AB与平面EBC所成的角为30°. (3)求二面角A—EB—C的大小. 解

设平面EAB的法向量为n＝(x，y，z)，

则n⊥AE且n⊥AB，∴n•AE＝0且n•AB＝0. (0，0，2)(x，y，z)＝0，(2，2，0)(x，y，z)＝0，

即z＝0x＋y＝0.

取y＝－1，∴x＝1. ∴n＝(1，－1,0). 又∵AM为平面EBC的一个法向量，且AM＝(0,1,1)，

∴cos〈n，AM〉＝n•AM/|n|•|AM|＝12. 设二面角A—EB—C的平面角为θ，由图可知θ为锐角，

则cos θ＝|cos〈n，AM〉|＝12，∴θ＝60°. ∴二面角A—EB—C等于60°. 利用向量求空间角的步骤

第一步：建立空间直角坐标系，确定点的坐标；

第二步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标；

第三步：计算向量的夹角(或函数值)，并转化为所求角．

（五）课时作业

1．已知两平面的法向量分别为m＝(1，－1，0)，n＝(0，1，－1)，则两平面所成的二面角为(A．60°

B．120°

C．60°或120°

D．90°

答案

C

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)

－11m·n解析

cos〈m，n〉＝＝＝－，

|m||n|22·2即〈m，n〉＝120°. ∴两平面所成二面角为120°或180°－120°＝60°. 2.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为(

)

A.C.5

55

6B.D.5

35

4答案

A →解析

设CA＝2，则C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，B1(0，2，1)，可得向量AB1＝(－→→0＋4－1AB1·BC1→→→2，2，1)，BC1＝(0，2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈AB1，BC1〉＝＝→→4＋4＋1×0＋4＋1|AB1||BC1|＝15＝，故选A. 553、在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为________．

答案

5

5解析

以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由AB＝AC＝1，PA＝2，

得A(0，0，0)，B(1，0，0)，

1，0，0，

C(0，1，0)，P(0，0，2)，D2111，，0，F0，，1. E2221→→0，，0，

∴PA＝(0，0，－2)，DE＝2

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11→－，，1. DF＝22设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，

→DE＝0，n·y＝0，则由得

→－x＋y＋2z＝0.DF＝0，n·

→|PA·n|5→取z＝1，则n＝(2，0，1)，设直线PA与平面DEF所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈n，PA〉|＝＝，

5→|PA||n|∴直线PA与平面DEF所成角的正弦值为4、

（六）课堂小结

1、线线、线面、面面的夹角与向量夹角的关系．

2、角的向量求法

（七）课外作业

如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中AB∥CD，∠CDA＝90°，CD＝2AB＝2，AD＝3，PA＝5，PD＝22，点E在棱AD上且AE＝1，点F为棱PD的中点．

5. 5

(1)证明：平面BEF⊥平面PEC；

(2)求二面角A－BF－C的余弦值．

（七）板书设计

（九）教学反思

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课题：空间直角坐标系的应用

——求空间角

授课教师：王平华

授课班级：高二（215班）

授课时间：2019.05.23

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