1.2.1 充分条件与必要条件板书设计及设计说明

1．2

充分条件与必要条件

1．2.1

充分条件与必要条件

一、基础达标

1．a<0，b<0的一个必要条件为(

) A．a＋b<0 aC.b>1

答案

A 解析

a＋b<0⇒/

a<0，b<0，而a<0，b<0⇒a＋b<0. 2．“ab≠0”是“直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交”的(

) A．充分条件但不是必要条件

B．必要条件但不是充分条件

C．既是充分条件，也是必要条件

D．既不是充分条件，也不是必要条件

答案

C 解析

ab≠0，即a≠0且b≠0，此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；又当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0. 3．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(

) A．a<0 C．a<－1 答案

C 解析

∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根．

4－4a>0，Δ>0，∴即1x1x2<0.<0aB．a>0

D．a<1

B．a－b>0 aD.b<－1

⇔a<0，本题要求的是充分不必要条件．

由于{a|a<－1}{a|a<0}，故答案应为C. 4．已知p：α≠β，q：cos α≠cos β，则p是q的(

) A．充分不必要条件

1 B．必要不充分条件

C．充要条件

答案

B 解析

q⇒p成立，但pD．既不充分也不必要条件

q，∴p是q的必要不充分条件．

5．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的________条件．

答案

充分而不必要．

解析

x2＋y2≥4表示以原点为圆心，以2为半径的圆以及圆外的区域，即|x|≥2且|y|≥2，而x≥2且y≥2时，x2＋y2≥4，但x2＋y2≥4不一定推出x≥2且y≥2. 6．下列不等式：①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜0；④－1＜x＜1.其中，可以为x2＜1的一个充分条件的所有序号为________．

答案

②③④

解析

由于x2＜1即－1＜x＜1，①显然不能使－1＜x＜1一定成立，②③④满足题意．

7．下列各题中，p是q的什么条件？说明理由．

(1)p：△ABC中，b2>a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形；

(2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；

1(3)p：△ABC中，∠A≠30°，q：sin A≠2. 222a＋c－b解

(1)△ABC中，∵b2>a2＋c2，∴cos B＝2ac<0，∴B为钝角，即△ABC为钝角三角形，反之，若△ABC为钝角三角形，B可能为锐角，这时b2

∴p⇒q，qDp，故p是q的充分不必要条件．

(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，

∴pq，q⇒p，故p是q的必要不充分条件．

1(3)转化为△ABC中sin A＝2是∠A＝30°的什么条件．

1∵∠A＝30°⇒sin A＝2，

1但是sin A＝2

∠A＝30°，

2

1∴△ABC中sin A＝2是∠A＝30°的必要不充分条件，

即p是q的必要不充分条件．

二、能力提升

π8．设0

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案

B π解析

因为01，因此充分性不成立．

9．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2

答案

a>2 解析

根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1) {x|(a＋x)(1＋x)<0}，故有a>2. 10．设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则对于下列条件：

①α⊥β，α∩β＝l，m⊥l；②α∩γ＝m，α⊥β，γ⊥β；

③α⊥γ，β⊥γ，m⊥α；④n⊥α，n⊥β，m⊥α. 其中为m⊥β的充分条件的是________(将你认为正确的所有序号都填上)．

答案

②④

解析

α∩γ＝m，α⊥β，γ⊥β⇒m⊥β.n⊥α，n⊥β，m⊥α⇒m⊥β. 1111．设a，b为实数，那么“0a”的什么条件？

解

∵00，b>0时，aa. 11∴“0a”的充分条件．

3

1而取a＝－1，b＝1，显然有a

11故“0a”的充分而不必要条件．

12．已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p是q的充分不必要条件．求实数a的取值范围．

1解

令M＝{x|2x2－3x－2≥0}＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}＝{x|x≤－2或x≥2}；

N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}＝{x|x≤a－2或x≥a}，

由已知p⇒q，且q⇒/p，得MN. 11a－2>－a－2≥－，22所以或a<2a≤23即所求a的取值范围是[2，2]．

三、探究与创新

13．已知条件p：|x－1|>a和条件q：2x2－3x＋1>0，求使p是q的充分不必要条件的最小正整数a. 解

依题意a>0.由条件p：|x－1|>a，

得x－1<－a，或x－1>a，

∴x<1－a，或x>1＋a. 由条件q：2x2－3x＋1>0，

1得x<2，或x>1. 要使p是q的充分不必要条件，即“若p，则q”为真命题，逆命题为假命题，应有

11－a≤，21＋a≥1，

333⇔≤a＜2或

1解得a≥2. 令a＝1，则p：x<0，或x>2，

1此时必有x<2，或x>1.

4

即p⇒q，反之不成立．∴最小正整数a＝1.

5