1.2.1 充要条件优质课一等奖

1.2.1 充要条件

【教学目标】

1.知识与技能目标：

（１）正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．

（２）正确判断充分不必要条件、

必要不充分条件、充要条件、

既不充分也不必要条件. （３）通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．

2.过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．

3. 情感、态度与价值观：

激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．

【教法指导】

重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题

难点：正确区分充要条件．

【教学过程】

☆情境引入☆

已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数. 请判断： p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？

分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p．

易知：pq，故p是q的充分条件；

又q  p，故p是q的必要条件．

此时,我们说, p是q的充分必要条件

☆探索新知☆

一般地,如果既有pq ，又有qp 就记作 p  q. 此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.[来源:学*科*网Z*X*X*K]

概括地说,如果p  q,那么p 与 q互为充要条件. 一般地，

若pq ,但q 

p，则称p是q的充分但不必要条件；

若pq，但q 

p，则称p是q的必要但不充分条件；

若pq，且q 

p，则称p是q的既不充分也不必要条件．

在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：

①若pq ,但q 

p，则p是q的充分但不必要条件；

②若qp，但p 

q，则p是q的必要但不充分条件；

③若pq，且qp，则p是q的充要条件；

[来源: ]

④若p 

q，且q 

p，则p是q的既不充分也不必要条件．

题型一

充要条件的判断

例1 (1)“x＝1”是“x－2x＋1＝0”的(

) A.充要条件

B.充分而不必要条件

D.既不充分也不必要条件

22C.必要而不充分条件 2解析

解x－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x－2x＋1＝0”的充要条件. (2)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？

①在△ABC中，p：∠A>∠B，q：sin A>sin B；

②若a，b∈R，p：a＋b＝0，q：a＝b＝0；

③p：|x|>3，q：x>9.

题型二

充要条件的证明

例2 求证：方程x＋(2k－1)x＋k＝0的两个根均大于1的充要条件是k<－2. 证明

必要性：

[来源: ]22222若方程x＋(2k－1)x＋k＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，

x2，则

22Δ＝2k－1－4k≥0，x1－1＋x2－1>0，x2－1>0，x1－11k≤，4即－2k－1－2>0，k＋2k－1＋1>0，222

1k≤，4⇒x＋x－2>0，xx－x＋x＋1>0.121212

解得k<－2. 反之，充分性成立

☆课堂提高☆

1.对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析

当a＋b＝0时，得a＝－b，所以a∥b，但若a∥b，不一定有a＋b＝0. 2.已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(

) A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析

a＝3时，A＝{1,3}，A⊆B，当A⊆B时，a＝2或3. 223.已知α：“a＝±2”；β：“直线x－y＝0与圆x＋(y－a)＝2相切”，则α是β的(

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2222解析

a＝±2时，直线x－y＝0与圆x＋(y±2)＝2相切；当直线x－y＝0与圆x＋(y－a)＝2相切时，得错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。，∴a＝±2.∴α是β的充要条件. 4.已知直线l1：x＋ay＋6＝0和直线l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a＝________. 解析

由1×3－a×(a－2)＝0得a＝3或－1，

而a＝3时，两条直线重合，所以a＝－1. 5.命题p：x>0，y<0，命题q：x>y，错误！未找到引用源。>错误！未找到引用源。，则p是q的________条件.

☆课堂小结☆

1.充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法. 2.充要条件的证明与探求

(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：

①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；

②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性. (2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件. ☆课后作业☆

1.必做题：P1４：习题1.2A组第1(3)(2),2(3),3题

2.选做题：B组第2,3题