3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学设计内容推荐

关于《直线的倾斜角与斜率》的教学设计

教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修2 课题：3.1.1直线的倾斜角与斜率

一、教学目标

1、让学生理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式。

2、通过创设问题情景和多媒体教学，让学生在参与中感受和体验数学美，激发学生的学习兴趣和求知欲望。 3、通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养学生综合运用知识解决问题的能力．

4、通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体现数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣，对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养学生勇于探索、勇于创新的精神。

二、教学重点、难点

1.教学重点：直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式。

2.教学难点：斜率概念的学习和过两点的直线的斜率公式的建立。

三、教法、学法指导

1、本节课的教学任务有三大项：倾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式．学生思维也对应三个高潮：倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜

1

角的正切和斜率公式如何建立。相应的教学过程也有三个阶段：

①在教学中首先是创设问题情境，然后通过讨论明确用角来刻画直线的方向，如何定义这个角呢，学生在讨论中逐渐明确倾斜角的概念。

②本节的难点是对斜率概念的理解与过两点的直线的斜率公式的建立.学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的，而斜率却不这样．学生会认为为什么要用倾斜角的正切定义斜率？要解决这些问题，可引导学生联想工程问题中的“坡度”问题，以及三角函数的定义。

③在进行过两点的斜率公式推导的教学中要注意公式的适用范围。

2、本节内容在教学中宜采用启发式，设计为启发、引导、探究、归纳总结的教学模式。学生在积极思维的基础上，进行充分的讨论、争辩、交流、小结．倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式的建立，这三项教学任务都是在讨论、交流、归纳中完成的．在此过程中学生的思维和能力得到充分的发展。教师的任务是创设问题情境，引发争论，组织交流，归纳总结。

四、课前准备 1.教师准备：教学课件

几何画板演示 2.学生自备：学生预先查阅有关坡角、坡度知识，熟知特殊角的三角函数值。

五、教学过程：

1.直线的倾斜角的建构 （创设创设情境、导入新课，展现概念形成过程）

【问题1】如何确定一条直线？

2

借问酒家何处有？牧童遥指杏花村。

（采用几何画板演示：在图一背景上点出两点，利用几何画板课件演示两点确定一条直线；进一步指出一点和一确定方向也可构造这条直线。）

【问题2】如果直线只通过其中一点，要确定这条直线还要增加什么条件？

（请同学们观察跷跷板图，教师采用幻灯片课件演示实验，让学生充分感受直线的倾斜程度。）

学生活动：思考、回忆，回答：这条直线的方向，或者说倾斜程度．

【问题3】在坐标系中的一条直线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢？

学生活动：展开讨论．学生讨论过程中会有错误和不严谨之处，教师注意引导．（多媒体演示，给出直线倾斜角的定义）：

一、【直线的倾斜角的定义】 直线倾斜角和斜率的定义：当直线L与X轴相交时，我们取X轴作为基准，X轴正向与直线L向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角（angle of

3

inclination） （教师强调注意以下两点：

yolax（1）

轴的正方向，（2）直线向上方向）

【跟踪练习】下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )

xxoaoyyyA aC y l【直线倾斜角的范围】问题探究：在直角坐标系中，过点P的一条直线绕P点旋转，不管旋转多少周，它对x轴的相对位置有几种情形？画图表示。

ly o p lx

xooayB D y p x o lo p x 4 xay o p x

【规定】当l与x轴平行或重合时，规定倾斜角为0°．

由此定义，直线的倾斜角的取值范围为：

0°≤α＜180°

【直线倾斜角的几何意义】体现了直线对X轴正方向的倾斜程度

倾斜程度倾斜角

【探究】探究：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？

（多媒体演示实物图，通过坡度引出直线斜率的定义）：

二、【直线的的斜率】定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率(slope)。斜率通常用小写字母

k

表示，

即：

ktana注：⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 例如:利用k = tanα计算当倾斜角α=30°、α=45°、α=60°的斜率k的值. 变式:利用公式

tan(180)tan计算当倾斜角等于α=120°、α=135°、α=150°的斜率k的值,并观察、分析倾斜角α和斜率K之间的关系. 说明：此例要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率，其中涉及到三角函数的诱导公式tan(180)tan及特殊角正切值的确定.

5

教师活动：让学生观察、分析、归纳、总结倾斜角α和斜率K之间的关系。

（等学生小结完后，多媒体演示，进一步研究倾斜角和斜率是如何刻画直线的倾斜特性的？两者如何转化？

学生小结：（教师引导学生通过列表格从二者的关系、取值范围及变化趋势去总结）任何一条直线都有倾斜角，但未必有斜率；若一条直线有斜率，则必有倾斜角.当倾斜角090时，斜率是非负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大；当倾斜角90180时，斜率是负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大；90,ktan．（学生联想到初中所学的锐角三角函数可猜测斜率是倾斜角的正切值，教师补充：tan(180)tan.）

【点击高考】如图：直线L1、L2、L3,的斜率分别为K1、k2、k3，则（ D ）(全国高考题) A、K1 < K2 < K3 B、K3 < K1 < K2

C、K3 < K2 < K1 D、K1 < K3 < K2

L1y L2L3x 三、【直线过两点斜率公式的推导】给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率? 可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式的推导.（探究略）

斜率公式: 对于上面的斜率公式要注意下面四点：

(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直

6

线与x轴垂直；

(2)k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换; (3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; (4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0,直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合. (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．

四、【典型例题】

例1 已知A(4, 2), B(-8, 2), C(0, -2), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略) 分析: 已知两点坐标,由斜率公式代入即可求得k的值; 而当k = tanα<0时, 倾斜角α是钝角; 而当k = tanα>0时, 倾斜角α是锐角; 而当k = tanα=0时, 倾斜角α是0°. 略解: 直线AB的斜率k1=0, 所以它的倾斜角α是0°; 直线BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角; 直线CA的斜率k3=1>0, 所以它的倾斜角α是锐角. 例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3的直线l1,l2,l3,l4

分析:要画出经过原点的直线l1, 只要再找出l1上的另外一点M. 而M的坐标可以根据直线a的斜率确定; 或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边, 在x 轴的上方作45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可.

7

略解: 设直线l1上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有

1=(y－0)／(x－0) 所以 x = y可令x = 1, 则y = 1, 于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点M(1,1), 可作直线l2,l3,l4.

同理, 可作直线.(用计算机作动画演示画直线过程) 五、【练习】1. 2. 3. 4 六、【课堂小结】

1、直线的倾斜角定义及其范围：

02、直线的斜率定义：

180ktana(a90)3、斜率k与倾斜角

之间的关系：

a0ktan000a90ktana0a90tana(不存在)k不存在90a180ktana04、斜率公式：

y2y1y1y2k(或k)x2x1x1x2七、【布置作业】P89 A组2, 3, 4, B组5, 6 补充：

１已知直线l的倾斜角为 , sin = ，求此直线的斜率

2 已知Ａ(a,2), B(3,-1),当ＡＢ倾斜角为钝角时，求a的范围

教学设计说明

“直线的倾斜角和斜率”一节是解析几何的入门课，学生对几何的认识仅仅停留在直观图形的感性阶段，因此本节课在情境创设，例题设置中注重与实际生活联系，让学生体会数学的应用价值，在教学中注意观察学生是否

8 45

置身于数学学习活动中，是否精神饱满、兴趣浓厚、探究积极，并愿意与老师、同伴交流自己的想法。学生对于公式tan(180)tan充满疑问，最好应把三角函数定义介绍给学生；学生通过这一节的学习，初步感受复杂问题简单化、数形紧密结合的思想. 线的倾斜角是这一章所有概念的基础，而这一章的概念核心是斜率，理解二者之间的关系将是学好此章的关键；过两点的直线的斜率公式要讲透两点，其一是斜率的表象是一种kyx的比值，要让学生理解这种表达式，为两条直线垂直时斜率有何关系、导数的概念作好铺垫；其二是斜率的本质是与所取的点无关. 本节课我的设计理念遵循以下四条原则：以问题为载体；以学生为主体；以合作交流为手段；以能力提高为目的。重视概念的提取过程；知识的形成过程；解题的探索过程；情感的体验过程。学生通过自主探究、合作交流，体会合作学习的默契和谐，体会冥思苦想后的豁然开朗，体会逻辑思维的严谨美，体会变式训练的变幻美，体会数形结合的奇异美。

附：【板书设计】

课题：直线的倾斜角和斜率

线的倾斜角定义

……………

……………

直线的斜率定义

……………

……………

直线的斜率公式

……………

……………

公式推导过程

……………

……………

例一………

……………

……………

例二………

……………

……………

9