1.1.1 命题教学实录

命

题

一、教学过程：

①例题引入：

观察下列语句：

(1)三角形的三个内角的和等于360°. (2)今年校运动会我们班还能得第一吗？

(3)这是一棵大树呀！

(4)实数的平方是正数．

(5)能被4整除的数一定能被2整除．

问题1：上述语句哪几个语句能判断真假？

提示：(1)(4)(5)．

问题2：你能判断它们的真假吗？

提示：能，(5)真，(1)(4)为假．

②传授新知

定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句真命题：判断为真的语句命题分类：假命题：判断为假的语句形式：“若p，则q”.其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论

③例题精讲

[例1]

判断下列语句是不是命题，并说明理由．

π(1)是有理数；

3(2)3x2≤5；

(3)梯形是不是平面图形呢？

(4)x2－x＋7＞0. π[解]

(1)“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．

3(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．

(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．

127x－2＋＞0，所以“x2－x＋7＞0”是真的，故是命题．

(4)因为x2－x＋7＝24

[例2]

判断下列命题的真假，并说明理由．

(1)正方形既是矩形又是菱形；

(2)当x＝4时，2x＋1＜0；

(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；

(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列．

[解]

(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．

(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1＜0. (3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0. (4)是假命题，因为当等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列为递减数列．

[例3]

将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

(1)6是12和18的公约数；

(2)当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；

(3)平行四边形的对角线互相平分；

(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2. [解]

(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数．是真命题．

(2)若a＞－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根．是假命题．

(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分．是真命题．

(4)已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2.是假命题．

二、课堂巩固

1．下列命题中是真命题的是(

) A．若ab＝0，则a2＋b2＝0

B．若a＞b，则ac＞bc

C．若M∩N＝M，则N⊆M

D．若M⊆N，则M∩N＝M

解析：选D

A项中，a＝0，b≠0时，a2＋b2＝0不成立；B项中，c≤0时不成立；

C项中，M∩N＝M说明M⊆N.故选项A、B、C皆错误．

2．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中，真命题是(

) A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0

B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b

D．若a·b＝a·c，则b＝c

解析：选B

a·b＝0，在a，b为非零向量时可得a⊥b；a2＝b2可改写为|a|2＝|b|2，

只能得出|a|＝|b|；a·b＝a·c，可移项得a⊥(b－c)，不可两边同除以向量．

3．命题“函数y＝2x＋1是增函数”的条件是____________，结论是__________________．

答案：函数为y＝2x＋1

该函数是增函数

4．下列命题：

①若xy＝1，则x，y互为倒数；

②二次函数的图象与x轴有公共点；

③平行四边形是梯形；

④若ac＞bc，则a＞b. 其中真命题是________(写出所有真命题的序号)．

解析：对于②，二次函数图象与x轴不一定有公共点；对于③，平行四边形不是梯形．

答案：①④

5．已知命题p：x2－2x－2≥1；命题q：0＜x＜4，

若命题p是真命题，命题q是假命题，求实数x的取值范围．

解：由x2－2x－2≥1，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3. 故命题p：x≤－1或x≥3.又命题q：0＜x＜4，且命题p为真，命题q为假，

x≤－1或x≥3，则所以x≤－1或x≥4. x≤0或x≥4，

故满足条件的实数x的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．

三、课后作业

一、选择题

1．下列语句不是命题的有(

) ①若a＞b，b＞c，则a＞c；②x＞2；③3＜4；

④函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在R上是增函数．

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

解析：选C

①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②④不能判断真假，不是命题．

2．下列命题中真命题的个数为(

) ①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；

③若a＞b，则a＋c＞b＋c；

④矩形的对角线互相垂直．

A．1

B．2

C．3

D．4 解析：选A

①错；②中，x＝3，y＝0，则xy＝0，但|x|＋|y|≠0，故②错；

③正确；④中，矩形的对角线相等，但不一定互相垂直．

3．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是(

) A．这个四边形的对角线互相平分

B．这个四边形的对角线互相垂直

C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直

D．这个四边形是平行四边形

解析：选C

命题可改为“若一个四边形是平行四边形，

则这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直．”

4．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，

则下列命题中，假命题是(

)

A．若a∥b，则α∥β

B．若α⊥β，则a⊥b

C．若a，b相交，则α，β相交

D．若α，β相交，则a，b相交

解析：选D

由已知a⊥α，b⊥β，若α，β相交，则a，b有可能异面．

5．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，

则使该命题为真命题的a的一个值可以是(

) A．4

B．2

C．0

D．－3 解析：选C

方程无实根时，应满足Δ＝a2－4＜0.故a＝0时适合条件．

二、填空题

6．下列语句中是命题的有________，其中是真命题的有________．(写出序号) ①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？

②一个数不是正数就是负数；

③大角所对的边大于小角所对的边；

④△ABC中，若∠A＝∠B，则sin A＝sin B；

⑤求证方程x2＋x＋1＝0无实根．

解析：①是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；

②是假命题，0既不是正数也不是负数；

③是假命题，没有考虑在同一个三角形内；

④是真命题；

⑤祈使句，不是命题．

答案：②③④

④