3.1.3 空间向量的数量积运算教学创新设计

《3.1.3空间向量的数量积运算》教学设计

教学目标：

知识与技能目标：

知识：1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；

2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题. 技能：将立体几何问题转化为向量的计算问题

过程与方法目标：

1.培养类比等探索性思维，提高学生的创新能力. 2.培养学生把空间立体几何问题转化为向量的计算问题的思想. 情感与态度目标：

1. 获得成功的体验,激发学生学习数学的热情； 2. 学习向量在空间立体几何中的应用,

感受到数学的无穷魅力.

教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用. 教学难点：将立体几何问题转化为向量的计算问题. 教辅工具：多媒体课件

教学程序设计：

程序

教师活动

学生活动

设计意图

一、几个概念1）两个非零向量的夹角的定义aa类比对于思AObB平面考题,主向量要是让夹角学生理的定解夹角义,的概念,

Cb如图，已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O，作OAa,OBb,则角AOB叫做向量a与b的夹角，记作：a,b规定:0a,b类比学习

如果a,b这样，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a,b＝b,aA,则称a与b互相垂直，并记作：ab212_0_____度思考：正三角形ABC中，AB,BCB

理解空间向量的夹角. 2）两个向量的数量积已知空间两个非零向量记作：ab,即a,b，则abcosa,b叫做向量a,b的数量积，ababcosa,b类比理解空平面间向量向量数量积数量的定义积的和几何OA类比平面向量，说说几何意义：

aaab的几何意义。ba与b的数量积ab等于

b的长度||与在的方向上的投影||cosa,b的乘积. a 类比学习

Bbcosa,bBB1BB1已知空间两个非零向量AOO2）两个向量的数量积bcosa,ba,b，则B1叫做向量abcosa,bbcosa,bA定意义.特bcosa,ba,b的数量积，记作：ab,即大于0等于ab0a小于0义.别要理学生解投影集体的概念. 回答

出空

间向

几个重要结论：①两个向量的数量积是数量，而不是向量.0a0②规定：③非零向量a④⑤aa2bab0cosa,babab

量的

3)空间向量的数量积满足的运算律数量

1)(a)b(ab)2)abba(交换律）积定

义及

几何

意义

等.

对于几个重要的结论,主要是让学生理解几个重要的结论,特别是长度和夹角的计算公式.

3）a(bc)abac(分配律）

二、课堂练习1.已知a22,b22则a,b所夹的角为,ab.2对于对于练练习习1，21、2 和3 ,主135________2.对于空间中任意向量a,b和c，请判断下列说法的对错：1）若ab0,则a0,b02)(ab)ca(bc)3)若abac，则bc4)若abk，则bkaABCD((((二、课堂练习××××))))和3,要是让学生学生熟

等于1，点E、F独立悉向量完成数量积后,公式,理3.如图：已知空间四边形分别是AB、AD的中点。的每条边和对角线长都A(3)EFDC(4)EFAC

例题与练习

分析

计算：（1）EFBA(2)EFBD14EFAC12121212DB(DCDA)12140BEFDC同桌解数量间交积的概流. 念。

DBDCDBDA1211cos6011cos600

三、例题与练习：利用空间向量数量积求异面直线所成的角（或余弦值）例1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线60的角的大小等于___________.D1BC1与AC所成

C1方法一：几何法CAD1的大小就等于直线BC1与AC所A1B1

C成的角的大小方法二：向量法ADB

例1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线的角的大小等于___________.D1BC与所成C1方法二：向量法A1BC1AC(BCCC1)(ABBC)2B1

C

BCABBCCC1ABCC1BCD01001又BC12,ACBC1ACBC1AC212AB

cosBC1,ACBC1,AC60三、例题与练习：ABCD例2已知在平行六面体已知在平行六面体ABCD例2求对角线AC的长。的长。求对角线D'C'中，AB中，4,,,AD3,AA5,BAD90,BAADAA60,解：ACABADAA22A'|AC|(ABADAA)B'|AB||AD||AA|2(ABDC222ADAB52AAADAA)学生

独立

42322(0107.5)85AB|AC|85三、例题与练习：例3，已知m,n是平面内两条相交直线，直线lm，且ln，求证：l平面

完成例题1后，的目的交是让学证明：在内任取一条直线p,在l,m,n,p上取非零向量l,m,n,p，

l因m与n相交，得向量m,n不平行，由共面向量定理可知，

存在唯一的有序实数对(x,y)，使

流，生理解0,ln0pm pxmyn

又因为lm,ln,所以lm

n所以,lp所以, l

点用向量xlmyln0评。

的方法p这就证明了直线l垂直于平面内的任一条直线，所以l

求异面直线所成的角。

学生

独立例题2完成的目的后，是让学交生理解流，用向量点的方法评。

求线段

的长度。

学生

独立例题3完成的目的后，是让学交生理解流，用向量点的方法评。

证明垂

三、例题与练习：练习1.如图所示，在空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=45°，∠OAB=60°，OA与BC夹角的余弦值等于322直问题。

学生巩固用动手向量的自行方法求解决异面直问2.2.__________.5解：BCACAB,OABCOAACOAABOAACcosOA，ACOAABcosOA,AB线所成84cos13586cos1202416cosOA，BCOABCOABC2416852325题，的角。

讲解

..练习

巩固

练2:如图，已知线段AB在平面在平面内，线段内，线段AC练2:如图，已知线段，线段BD，线段果AB果AB，线段DD，线段，，DBD，如30，如a,ACBDb，求C、、之间的距离。，求D之间的距离。30解：由ACC，可知ACAB

由DBD2知CA,BD1202DbbD'a|CD|CDCD(CAABBD)|CA|2|AB|2|BD|22CAAB2CABD2ABBDba2ABab2b22b2cos12022CDa2b2

练***面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。已知：PO,PA分别是平面

的垂线，斜线，OA是PA在内的射影，求证：aPAa,且aOA证明：在而POa上取非零向量a,POaPOa0

巩固用向量的方法求线段的长度。

巩固用向量的方法证明垂直又OAa,OAa0POAaP又PO,OA相交，得PO,OA不平行，由共面向量有序实数对oAl定理可知，存在唯一的PAxPOyOAx,y,使PAaPOaOAa0aPA,即aPA.

问题。

小结

四、小结：aAa师生

B1.夹角：bOb共同完成。

2.数量积：ababcosa,b3.数量积的几个重要结论：①两个向量的数量积是数量，而不是向量.0a②规定：0③非零向量acosa,bbab0④aa4.运算律2⑤abab1)(a)b(ab)2)abba(交换律）3）a(bc)abac(分配律）5.数量积的应用：求夹角，长度，证明垂直

作业

教材习题3.1A组：第3题，第5题.