测试ppt专用说课稿内容

二次函数中线段和的最小值问题

部门：中学部

科目

数学

课题章节名称

年级

说课教师：颜昌盛

时间

九年级

知识领域

专题复习

二次函数中线段和最小值问题

一、考纲考点分析

1.

考纲分析

根据2019年广州市初中毕业生学业考试数学考试大纲，对初中毕业生有以下几点能力要求：

空间观念--能从较复杂的图形中分解出基本图形，并能分析其中的基本元素及其关系；

几何直观--能运用图形描述问题，利用直观来分析和思考问题；

模型思想--从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。

在《2019年广州市初中毕业生学业考试指导书（数学）》所规定的内容中有以下几点：

图形的性质（23）：○1两点确定一条直线。两点之间，线段最短。过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

13线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

○图形的变化（1）：能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；

掌握基本图形（等腰三角形、矩形菱形、正多边形、圆）的轴对称性及其相关性质。

2.

考点分析

从近几年的中考来看，线段和的最小值问题经常出现在各省市的中考题中，

问题常以二次函数、反比例函数、正方形、矩形、菱形等图形为背景，让学生求两条线段和的最小值、三条线段和（三角形周长）的最小值、四条线段和（四边形周长）的最小值等，这些问题中又以二次函数背景下求两条线段和的最小值、三条

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线段和（三角形周长）的最小值最为常见。

从题型来看，线段和最小值问题涉及选择题、填空题、解答题，其中选择题、填空题通常以正方形、矩形、菱形为背景求线段和的最小值，且题目有一定难度。以二次函数或几种图形组合为背景的线段和的最小值问题都出现在解答题，大部分都是以较难题、难题出现，是学生中考中不易答出的部分。

从考察的数学思想方法看，线段和的最小值问题往往需要学生灵活利用轴对称将线段和最小值问题转为“两点之间，线段最短”问题（本课时主要解决这类问题），再结合相似、勾股定理等知识求出相应点的坐标及最小值。

从学生的知识掌握程度看，九下学生已经学完了初中所有新课内容，经过了一轮基础知识的复习，对解决此类题型的知识源，如两点之间，线段最短；利用轴对称求最短路径；

几何转化为代数解法，如利用一次函数、反比例函数增减性、二次函数的最值问题等知识，掌握了这些知识源的一些用法，会利用这些知识源把动态问题转化为静态问题，实现问题的转化与解决。

基于以上分析，本课时的重点是研究利用轴对称解决二次函数中线段和的最小值问题．

二、学情分析

1.

认知基础

学生在新人教版七年级上册第四章几何图形初步对“两点之间，直线段最短”这一既定事实有了一个感性的认识，学会了如何在两个定点之间找一条最短路径。到了新人教版八年级上册，学生们又学到了图形变换之一的轴对称，并掌握了“将军饮马”这一联系轴对称与“线段和最小问题”的经典模型。

在新人教版九年级上册，学生学习了初中代数最重要的函数--二次函数，理解并掌握其概念和基本性质，并在逐步深入的学习中接触到代几综合题型。二次函数中的线段和最小值问题即是对代数与几何的综合考查，对学生课本知识的掌握和联合运用的能力提出了较高的要求。

2.

认知能力

九年级学生的几何直观思维已经趋于成熟，已经具备一定的解决动态问题的能力，独立思考、动手操作、探索几何中最值问题的能力对比七八年级有较为明显的增强。

3.

学习方法

实践操作是解决几何中动态问题的根本方法，在探究“线段和最小”这一问题的过程中，学生要通过实践操作去熟悉常规的几何模型和常规辅助线的作法，体会转化这一重要的数学思想。

三、教学目标

知识技能

数学思考

问题解决

情感态度

教学重点

教学难点

掌握轴对称的性质，能利用轴对称的性质解决实际问题

在探究“线段和最小”这一问题的过程中体会“转化与化归”这一重要思想

利用轴对称将“线段和最小”问题转化成“两点之间，直线段最短”这一问题

通过“观察思考、实践操作、尝试解决、得出结论”这一反复的过程，积累解决几何动态问题的经验

将“线段和最小”问题转化成“两点之间，直线段最短”问题

将“线段和最小”问题转化成“两点之间，直线段最短”问题

四、教学模式

本节课采用的是“和谐互助”的教学模式，根据这种教学模式的内涵，我制定了本次复习课的五步十环节如下：

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五、教法学法

【教法】本节课采用了引导发现法、直观演示法等教学方法。利用几何画板这一信息技术，即时演示几何动态问题，引导学生理解和掌握“转化”的数学思想。

【学法】动手实践、师友合作、展示汇报等学习方法。

六、教学设计

时间

教师主导活动

学生主体活动

设计意图

一．师友回顾、教师检查

教师利用几何画板陈述以下四个问题，让师友回顾已学知识点。

问题1：如图 1，从A地到B 地有五条道路,时间紧急，张先生要从B地赶往A地乘车，问：此时张先生应该怎么走才能最快到达A地？理由是什么？

图1

问题2：如图2，点P是直线l上的一个动点，你是否可以在直线l上找到点P，使得PA+PB值最小？怎样找到的？理由是什么？

问题3：如图3，点P是直线l上的一个动点，你是否可以在直线l上找到点P，使得PE+PB 值最小？怎样找到的？理由是什么？

问题4：如图4，点P是直线l上的一个动点，你是否可以在直线l上找到点P，使得△PFB的周长最小？怎样找到的？理由是什么？

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通过复习求线段和最小值的做法，引入本节学生观察问题并思课的教学内容，考，进行师友交流，为接下来应用师友之间互相检查该知识解决数提问，学友展示汇学问题做好方报，教师做好补充。

法和知识上的铺垫．

教师让学友展示汇报，引导学生做出以下归纳：在直线l上找一点P，使PA+PB值最小（两条线段和的最小值），常把同侧两点转化为直线l的异侧两点，即作B点关于直线l的对称点 B′（也可以作A点关于直线l的对称点

A′），连接AB′（或 BA′）交直线l于点P，点P即为所求．

二．师友讲解、教师点拨

思考下列问题，并合作解决。在展示过程中利用几何画板动态演示问题。

问题5：已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1．

（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；

从最简单的二次函数中异侧点为B，求A、B两点的坐标；

求两条线段和的最小值问题（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得到同侧求两条PA+PB最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不线段和的最小存在，请说明理由．

值问题再到同

侧求三条线段

师友交流，探讨并解和的最小值问

决部分问题，学友展题（三角形周长

示讨论成果。

的最小值，其中

教师巡视，发现问题一条边长度为

及时纠正点拨，共性定值），难度逐

变式1：（问题5第（3）问变式）在（2）的条件下，若问题展示优秀结果，步提升，层层递引导其他师友补充，进，让学生体验3，点E0，x轴上是否存在一点P，使得PE+PB最短？最终完成归纳。

同一种方法在不同情形下的若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明应用，培养学生理由．

的学习方法迁

移能力，也让学

生体验基础知变式2：（问题5第（3）问变式）在（2）的条件下，若识、基本方法的抛物线与x轴右侧交点为F，y轴上是否存在一点P，重要性．

使PFB的周长最小？若P点存在，求出P点的坐标和周长的最小值；若P点不存在，请说明理由．

教师陈述题目，师友之间合作探讨，教师巡视，发现问题，学友展示汇报，教师进行补充，引导学生做出归纳总结：若求线段和的最小值情形是只有一个动点的情形，解决此类题型的方法是利用轴对称将其中一个定点做关（2）如图，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点A，顶第

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于动点所在直线的对称点，连接该定点与对称点，与动点所在直线的交点即为所求的点，这样就通过利用轴对称把求最小值的问题转化为“两点之间，线段最短”的问题，再结合待定系数法等知识求出动点坐标、最小值等．

三．师友练习，教师提升

教师根据本阶段的重难点和易错点设置习题，让学生先独立完成，然后集体交流。

问题6：如图，顶点为A（3，1）的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．

（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；

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（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；

（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．

通过中考真题帮助学生巩固利用轴对称把同侧两点转化为异侧两点，利用“两点之间，学生先独立完成，然线段最短”的知后集体交流，最后由识确定点P的位学友展示成果。

置求线段和最教师巡视，发现问题小值的方法，再并及时点拨、纠正，利用相似的方对于共性问题，借助法求出点P的坐于几何画板引导学标。通过此练习生思考并归纳。

加深学生对所学知识方法的记忆，同时也锻炼学生的学习迁移能力和模仿能力。

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四．师友交流，归纳梳理

1.

两定点之间，___________最短。

2.

已知直线l上一动点P，问点P在直线l何处使得动点P到直线异侧两定点A,B距离和PAPB最小？请画图说明。

3.

已知直线l上一动点P，问点P在直线l何处使得动点P到直线同侧两定点A,B距离和PAPB最小？请画图说明。

4.

师友交流，归纳二次函数中线段和最小值的基本做法与步骤。

5.

本节课的学习中你还存在哪些困惑？

五．师友检测，教师评价

问题7：如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛学生回顾总结本节课所学的知识点，通过师友交流总结问题的解题思路和基本做法。

教师做好补充，进一步梳理该阶段所学知识结构体系，并强调重点、难点、解题方法和技巧，并适当评价师友表现，指出努力方向。

让学生进一步总结与反思本节课所学知识，强化本节课的解题思维方法。

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物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存

在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的

坐标；如果不存在，请说明理由．

学生独立完成必做（3）（选做题）如图2，连接AB，若点P是线段OE上题，教师巡视，对学的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、生的完成情况进行点评。

抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．

课后作业：

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax+bx+c与⊙M相交于A、B、C、D四点，其中A、B两点的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣2），点D在x轴上且AD为⊙M的直径．点E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧ED上的点F作FH⊥AD于点H，且FH＝1.5

（1）求点D的坐标及该抛物线的表达式；

（2）若点P是x轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标；

（3）（选做题）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

学生课后练习，师友帮助学友落实，教师确认学友的落实情况。

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检测题分为必做题和选做题两部分，必做题用于巩固本节课所学知识、方法、技能，选做题用于学有余力的学生课外研究，帮助学生开拓思维，提升能力，同时也是分层教学的体现。

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七．板书设计

本次课的板书如下：

在黑板上简明扼要的展示本节课重点，通过几何画板演示动态问题，给学生以几何直观的感受。

八．教学反思

本次课从四个基础问题出发，逐步深入，同时辅以几何画板这一工具，能够让学生形象直观的感受“转化”这一数学思想，从而突破本节课的重难点。

动态问题是初中一大难点，本次课讲授的主题在实际的出题中会有很多种变化。本次课并没有涉及两个动点的情况，也没有涉及点关于任意直线对称点的求法。这会导致一部分学生在求解同类型题目的过程中出现许多的坎。在今后的课堂中，我会注意知识点的迁移，对课程内容做更好的优化，帮助学生理解数学原理、培养学生的数学思维。

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