3.1.3 导数的几何意义教案2

导数的几何意义教案

【教学目标】

知识与技能目标：

（1）使学生掌握函数f(x)在xx0处的导数f/x0的几何意义就是函数f(x)的图像在

（数形结合），即：

xx0处的切线的斜率。f/x0limx0fx0xf(x0)＝切线的斜率

x(2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法。

过程与方法目标：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。

【教学手段】采用计算机（Flash,Powerpoint），实物投影等多媒体手段，增大教学容量与直观性，有效提高教学效率和教学质量。

【教学重点与难点】

重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。

难点：发现、理解及应用导数的几何意义

【教学过程】

（一）作业点评，承上启下： 问题：在高台跳水运动中，t秒(s)时运动员相对于水面的高度是，求运动员在t1s时的瞬时速度，并解释此时的运h(t)4.9t26.5t10（单位：m）动状态；在t0.5s时呢？

教师点评作业的优点及不足；由学生甲解释t1s，t0.5s时运动员的运动状态。

（说明：实例引入，承上启下，有效铺垫，直接过渡）

（二）课题引入，类比探讨：

由导数的物理意义是瞬时速度，我们知道了导数的本质。

●问（一）：导数的本质是什么？写出它的表达式。

学生活动：在“学生动手实践”中，学生写出：

导数f/(x0)的本质是函数f(x)在xx0处的瞬时变化率，即：

f/x0limx0fx0xf(x0)

x（说明：教师不能代替学生的思维活动，学生将大脑中已有的经验、认识转换成数学符号，有利于学生思维能力的有效提高，为学生“发现”,感知导数的几何意义奠定基础）

●

问（二）：导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，若从图形（形）的角度来探究导数的几何意义，应从哪儿入手呢？

教师引导学生：数形结合是重要的思想方法。要研究“形”，自然要结合“数”：

1

即：导数的代数表达式，并回忆求导数f/(x0)的步骤。

●

问（三）求导数f/(x0)的步骤有哪几步?

教师引导学生回答：

第一步：求平均变化率f(x0x)f(x0)；

xf(x0x)f(x0)无限趋近于的常数就是x第二步：当x趋近于0时，平均变化率（回归本质，数形结合）

f/(x0)。教师进一步引导学生：这是从“数”的角度来求导数，若从“形”的角度探索导数的几何意义，类比地，也可以分两个步骤：

●问（四）：第一步：平均变化率f(x0x)f(x0)的几何意义是什么？

x请在函数图像中画出来；

学生动手活动：见“学生动手实践”。

由学生乙回答：平均变化率f(x0x)f(x0)的几何意义是割线AB的斜率。

xA(x0,f(x0)),B(x0x,f(x0x))。教师提醒学生A、B两点的坐标必须写清楚。

●问（五）：第二步：x0时，割线AB有什么变化？请画出来。

学生动手活动：见“学生动手实践”。

教师展示学生作品，引导学生观察：类比数的变化：

x0，B(x0x,f(x0x))A(x0,f(x0)),

当x0，割线AB有一个无限趋近的确定位置，这个确定位置上的直线叫做曲线在xx0处的切线，请把它画出来。

学生动手活动：见“学生动手实践”。

教师展示学生作品，

引导学生发现，并说出：

（形）x0，割线AB切线AD，

则割线AB的斜率切线AD的斜率

由数形结合，得

f/x0limx0fx0xf(x0)＝切线AD的斜率

x/所以，函数f(x)在xx0处的导数fx0的几何意义就是函数f(x)的图像在xx0处的切线AD的斜率。（数形结合）。

（说明：动手实践，探索发现。使学生经历探究“导数的几何意义”的过程以获得理智和情

2

感体验，建构“导数及其几何意义”的知识结构，准确理解

“导数的几何意义”，掌握“数形结合，类比探讨”的数学思想方法。） （三）

动画演示，总结归纳

1．演示Flash动画，将同学们画图、思考、数形结合的过程展示出来。

2．

教师提问：此处切线定义与以前学过的切线定义有什么不同？展示Powerpoint动画。yl1A初中平面几何中，圆的切线的的定义：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切。这时，直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点。

圆是一种特殊的曲线。这种定义并不适用于一般曲线的切线。例如上图中，直线l1虽然与曲线有惟一的公共l2B点，但我们不能认为它与曲线相切；而另一条直线l1虽然与曲线有不只一个xC公共点，我们还是认为它是曲线的切线。因此，以上圆的切线定义并不适用于一般的曲线。

通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一），适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。

3．根据导数的几何意义，在点P附近，曲线f(x)可以用在点P处的切线

近似代替，这是微积分中重要的思想方法——以直代曲（以简单的对象刻画复杂的对象）。（动画演示：通过信息技术将函数曲线某一点附近的图象放大得到一个近景图，图象放得越大，这一小段曲线看起来就越象直线；大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”）

教师引导学生看书，理解，在课堂教学中紧密结合教材。

（说明：适时、有效地采用计算机等多媒体辅助教学，可以不仅加强学生对“导数的几何意义”形象、直观地理解，还能将学生的动手实践（感知体验）与抽象思维（深层内化）有效结合，增强学生的思维能力训练，提高教学效率和教学质量。）

（四）训练巩固、加强理解：

1．在函数h(t)4.9t6.5t10的图像上，（1）用图形来体现导数h(1)3.3，（2）请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2h/(0.5)1.6的几何意义，并用数学语言表述出来。附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在t3,t4附近呢？

2/

3

h

O

t3

t4

t0

t1

t2

t

（说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（讨论、描述运动员的运动状态），体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。）

2．如图表示人体血管中的药物浓度cf(t)（单位：mg/mL）随时间t（单位：min）变化的函数图像，根据图像，估计t0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。(精确到0.1)

t

药物浓度的

瞬时变化率

0.2

0.4

0.6

0.8 （说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（说出如何估计切线斜率），进一步体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。）

（五）抽象概括，归纳小结：

1．抽象概括：由练习2抽象概括出导函数（简称导数）的概念：

f

//，fx是x的函数（动态）

x0是确定的数（静态）4

由f/x0limx0/fx0xf(x0)（特殊——一般）

xx

ffxxf(x)xlim（静态——动态）

x0（说明：体验从静态到动态的变化过程，领会从特殊到一般的辩证思想

2．归纳小结：

由学生进行开放式小结：

（1）函数f(x)在xx0处的导数f/x0的几何意义就是函数f(x)的图像在

（数形结合），即：

xx0处的切线AD的斜率。f/x0limx0fx0xf(x0)＝切线AD的斜率

xfxxf(x)xlim

x0x（2）利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。

（3）导函数（简称“导数”）的概念。f（六）作业布置，分层要求：

1．习题P10A5,6.B2,3.

2．如图（函数图像参见“学生动手实践”，此略）是利用信息技术画出的函数/r(V)33V(0V5)的图像，请根据图像，估计V0.6,1.2时，气球的瞬时膨胀率。4有什么发现？

r

r(V)33V0V5

4O

V

3．请给出求函数yf(x)在xx0处的切线方程的一个算法，并小组自编四个求切线的题目。

（探索：若把3 ．“在点(x0,f(x0))

处”改为“过点(x0,f(x0))”，算法有何不同？并小组自编四个求切线的题目。）

5

学生动手实践

提问：1．导数f/(x0)的本质是什么？请写数学表达式。

导数的本质是函数f(x)在

处的

即：

２．函数f(x)平均变化率像中画出来。

f(x0x)f(x0)的几何意义是什么，请在函数图

x

f

(

x

)

f(x0x)f(x0)

y

1）平均变化率的几何意义：

x

2）当x0时，观察图形变化。

f(x0)

O

x0

x

3．导数f/(x0)的几何意义是什么？

导数f/(x0)的几何意义是

练习1．在函数h(t)4.9t6.5t10的图像上，（1）说说h(1)3.3，h(0.5)1.6的几何意义。（2）请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在t3,t4附近呢？

2//

6

(1) h

O

0.5

1.0

t

(2) h

O

t3

t4

t0

t1

t

2

t

7

2．如图表示人体血管中的药物浓度cf(t)（单位：mg/mL）随时间t（单位：min）变化的函数图像，根据图像，估计t0.2,0.4,0.6,0.8(min)时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)，把数据用表格的形式列出。

t

药物浓度的

瞬时变化率

抽象概括：

归纳小结：

0.2

0.4

0.6

0.8 f/x0limx0fx0xf(x0)x8

附：动态直观消除神秘，启发点拨贯通曲直

——《导数的几何意义》课例点评

广州市教育局教学研究室

许世红

本节内容是在学习了“变化率问题、导数的概念”等知识的基础上，研究导数的几何意义。它能过直观具体的形象帮助学生消除对极限的神秘感，深刻理解导数的内涵和意义，形成对于变量与常量之间相互联系与转化的认识，感受和体验辩证思维活动的过程，它对于学生深化数形结合认识，了解辩证思维的方式具有十分典型和重要的功能。本课的设计和教学较好地反映了以上意图，较好地体现出高中数学课程标准所倡导的教学理念，主要特色如下：

1．

教学思路清晰，学习重点突出

本节课围绕着“利用函数图象直观理解导数的几何意义”和“利用导数的几何意义解释实际问题”两个教学重心展开。

首先，教师从点评简单的作业“求高台跳水运动中某时刻的瞬时速度并描述该时刻的运动状态”入手，复习导数的实际意义、数值意义，由数到形，自然引出从图形的角度研究导数的几何意义；然后，类比“平均变化率——瞬时变化率”的研究思路，运用逼近的思想定义了曲线上某点的切线，再引导学生从数形结合的角度思考，获得导数的几何意义——“导数是曲线上某点处切线的斜率”。

完成本节课第一阶段的内容学习后，教师点明，利用导数的几何意义，在研究实际问题时，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”，从而达到“以简单的对象刻画复杂对象”的目的，并通过两个例题的研究，让学生从不同的角度完整地体验导数与切线斜率的关系，并感受导数应用的广泛性。

整节课的教学思路清晰，突出了对主干知识的深入研讨。虽然活动的每一个环节和片断基本上以教材内容为主线展开，但每一个知识、每一个发现，教师总是设法由学生自己得出，教师只是在关键处加以引导，尤其是，课堂上给予学生充足的思考时间和空间，让学生在动手操作、动笔演算等活动后，再组织讨论，充分体现出学生才是学习的主角这一新课程理念。

2．

设问合乎情理，探究活动自然

著名哲学家波普尔说“问题构成了一切科学探索活动(包括数学活动)的实际出发点”。在课堂上，只有通过适当的设问，才能在教学中真正实现“人人开动脑筋,积极思考”。本节课，教师十分注意提问的艺术，设计的问题围绕“怎样想到导数的几何意义就是切线的斜率”而进行，引导学生充分经历“提出问题（从数的角度研究了导数后，从形的角度如何研究导数？）——寻求想法——实施想法——发现规律——给出定义——应用定义解释现象（如何

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估计切线的斜率）”这一完整的探究活动，让学生感受到数学知识的产生是水到渠成的。

3．

注重学法引导，揭示研究方法

无论是复习导数的实际意义、数值意义，还是研究导数的几何意义及其应用，教师都很注重对数学思考和解决问题基本方法的教学，教师总是问：

“你为什么这样做？”、“你是怎样想的？”、“还可以怎样做？”等问题，问思路、问道理、问方法，及时组织学生交流思维过程，展现问题解决的途径，揭示研究问题的基本方法，借此引导学生学会必要的思维策略。从学生对例2、例3的分析可以看出，学生分析问题时表述清楚，思维方向正确，显得很是自信。

4．

巧用信息技术，强化直观感知

由于研究导数的几何意义时应用了“逼近”的思想，在学生动手画出一系列特殊位置的割线后，教师恰当地应用flash动画，让学生从直观上强烈感受到由割线逼近切线、产生切线的过程，再从理性的角度思考“切线产生”的深层原因，较好地培养了学生的观察能力和分析能力。另外，在解释“以直代曲”思想时，利用几何画板将曲线某一点附近的图象放大，让学生直观感受到“以直代曲”的合理性和有效性，加深了学生对这一重要思想的认识。

5．

整合教材资源，突破理解难点

由于版面的限制，教材例3中的图1.1-4的网格较密，不利于学生展开对该问题的研究。教师在实际处理时，直接将教材中的图形放大后印发给学生，让学生借助网格估计导数的近似值，有效地突破了研究难点，这种处理方式反映了教师的教学机智；又如，本节教材的课后练习中要求学生“利用信息技术工具，画出函数r(V)33V(0V5)的图象，并根据4其图象，估计V＝0.6、1.2时，气球的瞬时膨胀率”，由于大多数学生不具备这样的学习条件，教师直接给出了函数图象，这样的处理更符合教学实际；再如，教师在布置课后分层作业时，让学生研究“在某点处的切线”与“过某点的切线”的差异，较好地培养了学生思维的严谨性，也反映出教师对教学内容的深入思考。

当然，本节课在教学过程中，也有不尽如人意的地方，这里不再赘述。

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