1.2.2 充要条件优秀公开课教案

第2课时 充要条件基础过关

1．充分条件：如果pq则p叫做q的 条件，q叫做p的 条件．2．必要条件：如果qp则p叫做q的 条件，q叫做p的 条件．3．充要条件：如果pq且qp则p叫做q的 条件．典型例题

例1．在下列各题中，判断A是B的什么条件，并说明理由．1． A：p2,pR，B：方程x2pxp30有实根；2． A：2k,(kZ)，B：sin()sinsin；3．A：2x31；B：1x2x60；4．A：圆x2y2r2与直线axbyc0相切，B：c2(a2b2)r2.分析：要判断A是B的什么条件，只要判断由A能否推出B和由B能否推出A即可．解：(1) 当p2，取p4，则方程x24x70无实根；若方程x2pxp30有实根，则由0推出p24(p3)0p2或p6，由此可推出p2．所以A是B的必要非充分条件．(2)若2k则sinsinsinsin(2k)sinsin0,又sin()sin2k0)sinsin成立所以sin(若sin()sinsin成立 取0,，知2k不一定成立，故A是B的充分不必要条件．

(3) 由2x31x1或x2，由1x2x60解得x3或x2，所以A推不出B，但B可以推出A，故A是B的必要非充分条件．

2(4) 直线axbyc0与圆x2y2r相切圆(0，0)到直线的距离dr，即cab22＝rc2＝(a2b2)r2.所以A是B的充要条件. 变式训练1：指出下列命题中，p是q的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）.

（1）在△ABC中，p：∠A=∠B，q：sinA=sinB

（2）对于实数x、y，p：x+y≠8,q:x≠2或y≠6;

（3）非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B

22（4）已知x、y∈R，p：（x-1）+（y-2）=0，q：（x-1）（y-2）=0.

解：

（1）在△ABC中，∠A=∠BsinA=sinB，反之，若sinA=sinB，因为A与B不可能互补（因为三角形三个内角和为180°),所以只有A=B.故p是q的充要条件.

(2)易知: p:x+y=8, q:x=2且y=6,显然qp.但pq,即q 是p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件.

(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有x∈A∪B,所以p是q的必要不充分条件.

(4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2,

所以pq但qp,故p是q的充分不必要条件.

2例2.

已知p：－2＜m＜0，0＜n＜1；q：关于x的方程x＋mx＋n＝0有两个小于1的正根，试分析p是q的什么条件. 2解：若方程x＋mx＋n＝0有两个小于1的正根，设为x1、x2．

则0＜x1＜1、0＜x2＜1，∵x1＋x2＝－m，x1x2＝n

∴0＜－m＜2，0＜n＜1 ∴－2＜m＜0，0＜n＜1 ∴p是q的必要条件．

又若－2＜m＜0，0＜n＜1，不妨设m＝－1，n＝．

则方程为x－x＋＝0，∵△＝(－1)－4×＝－1＜0．

∴方程无实根 ∴p是q的非充分条件．

综上所述，p是q的必要非充分条件．

变式训练2：证明一元二次方程ax+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

证明：充分性：若ac<0,则b-4ac>0,且22221212212c<0,a

∴方程ax+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根. 必要性：若一元二次方程ax+bx+c=0有一正根和一负根，则=b-4ac>0,x1x2=综上所述，一元二次方程ax+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 例3.

已知p：

|1－x122|≤2，q：:x－2x+1－m≤0(m>0)，若p是q的必要而不充分条3222c<0,∴ac<0. a件，求实数m的取值范围. 解：

由题意知：命题：若┒p是┑q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q的充分不必要条件. p: |1－x1x1x1|≤2－2≤－1≤2－1≤≤3－2≤x≤10 333q: x2－2x+1－m2≤0［x－(1－m)］［x－(1+m)］≤0* ∵p是q的充分不必要条件，

∴不等式|1－x122|≤2的解集是x－2x＋1－m≤0(m>0)解集的子集. 3又∵m>0，∴不等式*的解集为1－m≤x≤1＋m

∴1m2m3，∴m≥9，

1m10m9∴实数m的取值范围是［9，+∞)

变式训练3：已知集合M{x||x1||x3|8}和集合P{x|x2(a8)x8a0}，求a的一个取值范围，使它成为MP{x|5x8}的一个必要不充分条件. 解：

M{x|x3或x5}，P{x|(xa)(x8)0}

由MP{x|5x8}时,

5a3,此时有a3,

但a3MP{x|5x8}

所以a3是MP{x|5x8}是必要但不充分条件. 说明：此题答案不唯一. 例4. “函数y＝(a＋4a－5)x－4(a－1)x＋3的图象全在x轴的上方”，这个结论成立的充分必要条件是什么？

解：函数的图象全在x轴上方，若2a4a50f(x)是一次函数，则a1

4(a1)0222a4a50若函数是二次函数，则：1a19

224(a1)12(a4a5)0反之若|a19，由以上推导，函数的图象在x轴上方，综上，充要条件是|a19．

变式训练4：已知P＝{x | |x－1| | >2}，S＝{x | x2＋(a1)xa0，且xP的充要条件是xS，求实数a的取值范围．

分析：xP的充要条件是xS，即任取xPxSPS，反过来，任取xSxP

SPSP据此可求得a的值．

解：xP的充要条件是xS

PS.∵P＝{x || x－1|＞2}}＝(,1)(3,)

S＝{x | x2＋(a＋1)x＋a＞0)}＝{x | (x＋a)(x＋1)＞0} a3.

归纳小结

1．处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论，然后才能进行推理和判断．不仅要深刻理解充分、必要条件的概念，而且要熟知问题中所涉及到的知识点和有关概念．

2．确定条件为不充分或不必要的条件时，常用构造反例的方法来说明．

3．等价变换是判断充分、必要条件的重要手段之一，特别是对于否定的命题，常通过它的等价命题，即逆否命题来考查条件与结论间的充分、必要关系．

4．对于充要条件的证明题，既要证明充分性，又要证明必要性，从命题角度出发，证原命题为真，逆命题也为真；求结论成立的充要条件可以从结论等价变形（换）而得到，也可以从结论推导必要条件，再说明具有充分性．

5．对一个命题而言，使结论成立的充分条件可能不止一个，必要条件也可能不止一个.