1.2.1 充分条件与必要条件教学评价实录

1.2.1 充分条件与必要条件

授课老师：李琴珍

【教材分析】

1.本节课选自人教版高中数学选修1-1第一章第二节第一课时。

2.充分条件与必要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，

它主要讨论了命题的条

件与结论之间的逻辑关系，

目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下坚实

的基础。

【教学目标】

1．从不同角度帮助学生理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；

2．结合具体命题，初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法；

3．培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辨证唯物主义思想教育. 【教学重点】构建充分条件、必要条件的数学意义；充分条件、必要条件的概念

【教学难点】命题条件的充分性、必要性的判断

【教学方法】启发、引导式教学法，讲练结合

【教具准备】多媒体

【教学过程】

一、复习回顾

1．命题：可以判断真假的语句，可写成：若p 则q．

2．四种命题及相互关系：3．请判断下列命题的真假：

二、讲授新课

⒈符号“”的含义

前面我们讨论了“若p则q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假.“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作pq，或者qp；如果由p推不出q，命题为假，记作pq. 简单地说，“若p则q”为真，记作pq（或qp）；

“若p则q”为假，记作pq（或qp）. 符号“”叫做推断符号. 例如，“若x>0，则x>0”是一个真命题，可写成：x>0 x>0；

22

又如，“若两三角形全等，则两三角形的面积相等”是一个真命题，可写成：两三角形全等两三角形面积相等. 说明：⑴“pq”表示“若p则q”为真；也表示“p蕴含q”. ⑵“pq”也可写为“qp”，有时也用“p→q”. 练习：课本P35练习：1⑴⑵⑶⑷. 答案：⑴；⑵；⑶；⑷. 若用符号“”与“”填空再做上题，结果如何？

答：⑴；⑵；⑶：⑷. ⒉什么是充分条件？什么是必要条件？

如果已知pq，那么我们就说，p是q的充分条件，q是p的必要条件. 在上面是两个例子中，“x>0”是“x>0”的充分条件，“x>0”是“x>0”的必要条件；“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件. ⒊充分条件与必要条件的判断

1.直接利用定义判断：即“若pq成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”. 例1

指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：⑴ p：x=y；22q：x=y. ⑵ p：三角形的三条边相等；q：三角形的三个角相等. 分析：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断. 22解：⑴由pq，即x=yx=y，知p是q的充分条件，q是p的必要条件. ⑵由pq，即三角形的三条边相等三角形的三个角相等，知p是q的充分条件，q是p的必要条件；

又由qp，即三角形的三个角相等三角形的三条边相等，知q也是p的充分条件，p也是q的必要条件. 例2(补)如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆B. 请回答：

⑴命题：若“A为绿色”，则“B为绿色”中，“A为绿色”是“B为绿色”的什么条件；“B为绿色”又是“A为绿色”的什么条件. ⑵命题：若“红点在B内”，则“红点一定在A内”中，“红点在B内”是“红点在A内”的什么条件；“红点在A内”又是“红点在B内”的什么条件. ⑵如图2⑴，∵“红点在B内红点在A内”是真的，∴由定义知，“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件. 解法1(直接判断)：⑴∵“A为绿色B为绿色”是真的，∴由定义知，“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件. ⑵如图2⑴，∵“红点在B内红点在A内”是真的，∴由定义知，“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件. 解法2(利用逆否命题判断)：⑴它的逆否命题是：若“B不为绿色”则“A不为绿色”. ∵“B不为绿色

 A不为绿色”为真，∴“A为绿22

色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件. ⑵它的逆否命题是：若“红点不在A内”，则“红点一定不在B内”. 如图2⑵，∵“红点不在A内红点一定不在B内”为真，∴“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件. 如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？下面我们以例2为例来说明. 先说充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的.例如，说“A为绿色”是“B为绿色”的一个充分条件，就是说“A为绿色”，它足以保证“B为绿色”.它符合上述的“若p则q”为真（即pq）的形式. 再说必要性：必要就是必须，必不可少.从例2的图可以看出，如果“B为绿色”，A可能为绿色，A也可能不为绿色.但如果“B不为绿色”，那么“A不可能为绿色”.因此，必要条件简单说就是：有它不一定，没它可不行.它满足上述的“若非q则非p”为真（即┐q┐p）的形式. 总之，数学上的充分条件、必要条件的“充分”、“必要”两词，与日常生活中的“充分”、“必要”意义相近，不过，要准确理解它们，还是应该以数学定义为依据. 例2的问题，若用集合观点又怎样解释呢？请同学们想一想. 4、课堂练习

1.设x∈R,则x>2的一个必要条件是

(

) A.x>1

B.x<1

C.x>3

D.x<3 【解析】选C.当x>3时,一定有x>2. 2.若a∈R,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的

(

) A.充分条件

B.必要条件

C.既不是充分条件,也不是必要条件

D.无法判断

【解析】选A.若“a=2”,则“(a-1)(a-2)=0”,即a=2⇒(a-1)•(a-2)=0.若“(a-1)(a-2)=0”,则“a=2或a=1”,故(a-1)(a-2)=0不一定能推出a=2. 3.设向量a=(2,x-1),b=(x+1,4),则“x=3”是“a∥b”的

(

) A.充分条件

B.必要条件

C.既不是充分条件,又不是必要条件

D.无法判断

【解析】选A.当x=3时,a=(2,2),b=(4,4)所以a= b,所以a∥b成立,因为a=(2,x-1),b=(x+1,4)且a∥b,所以2×4=(x-1)(x+1).解得x=±3, 综上,应该是充分条件.、

4.从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空: (1)“ax2+bx+c=0(a≠0)有实根”是“ac<0”的________. (2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的________. 【解析】(1)当方程有实根时,只是有Δ=b2-4ac≥0,推不出ac<0,当ac<0时, Δ=b2-4ac>0一定成立,所以方程一定有实根. (2)全等三角形一定相似,并且相似比为1,但相似三角形不一定全等. 答案:(1)必要条件

(2)充分条件

5.判断p:|x-2|≤5是q:x≥-1或x≤5的什么条件,说明理由. 【解析】p是q的充分条件. 因为p:|x-2|≤5的解集为P={x|-3≤x≤7};

q:x≥-1或x≤5就是实数集R. 所以P⊆R,也就是p⇒q, 故p是q的充分条件. 5、课堂总结

本节主要学习了推断符号“”的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与必要条件的方法. 判断充分条件与必要条件的依据是：

若pq（或若┐q┐p），则p是q的充分条件；

若qp（或若┐p┐q），则p是q的必要条件.．

6、课后作业：