3.1.3 导数的几何意义教案推荐

第10讲

变化率与导数、导数的计算

,

1．导数的概念

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

f（x0＋Δx）－f（x0）Δylim

＝lim

为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝Δx→0Δx→0ΔxΔxΔyf（x0＋Δx）－f（x0）lim

＝lim

. Δx→0ΔxΔx→0Δx(2)导数的几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

(3)函数f(x)的导函数

f（x＋Δx）－f（x）称函数f′(x)＝Δlim_为f(x)的导函数．

x→0Δx2．基本初等函数的导数公式

原函数

导函数

f(x)＝c(c为常数)

f′(x)＝0 －n*f(x)＝x(n∈Q)

f′(x)＝nxn1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x

f(x)＝ax (a>0且a≠1)

f′(x)＝axln a

f(x)＝ex

f′(x)＝ex

1f(x)＝logax (x>0，a>0且a≠1)

f′(x)＝

xln a1f(x)＝ln x (x>0)

f′(x)＝

x3.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

f（x）′＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）(g(x)≠0)．

(3)[g（x）]2g（x）1．辨明三个易误点

－(1)利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(xn)′＝nxn1与指数函数的求导公式(ax)′＝axln a混淆．

(2)求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．

(3)曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．

2．导数运算的技巧

(1)要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商的形式，再利用运算法则求导数；

(2)对于不具备求导法则结构形式的，要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数．但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误．对数函数的真数是根式或者分式时，可用对数的运算性质将真数转化为有理式或整式，然后再求解比较方便；当函数表达式含有三角函数时，可优先考虑利用三角公式进行化简后再求导．

1.教材习题改编

函数y＝f(x)的图象如图，则导函数f′(x)的大致图象为(

)

2.教材习题改编

函数y＝xcos x－sin x的导数为(

)

A．xsin x

B．－xsin x

C．xcos x

D．－xcos x

3.教材习题改编

已知f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，则x0＝________．

4.教材习题改编

函数y＝xln x与x轴的交点为P，则曲线y＝xln x在点P处的切线方程为________．

－5．若曲线y＝ex上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．

导数的计算[典例引领] ππ

(1)已知函数y＝f(x)的导函数为f′(x)且f(x)＝x2f′＋sin x，则f′＝________．

33(2)求下列函数的导数：

ln x①y＝(3x2－4x)(2x＋1)；②y＝x2sin x；③y＝3xex－2x＋e；④y＝2. x＋1

[通关练习] 11．已知f(x)＝x2＋2xf′(2 017)＋2 017ln x，则f′(2 017)＝________．

22．求下列函数的导数：

cos x(1)y＝xnex；(2)y＝；(3)y＝exln x. sin x

导数的几何意义(高频考点)

导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，属中低档题．

高考对导数几何意义的考查主要有以下三个命题角度：

(1)已知切点求切线方程；

(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标；

(3)已知切线方程求参数值．

[典例引领] －－

(1)(2016·高考全国卷丙)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝ex1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是____________．

(2)(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝_____．

1(3)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．

x

[题点通关]

角度一

已知切点求切线方程

1．(2017·威海质检)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为(

) A．x＋y－1＝0

B．x－y－1＝0

C．x＋y＋1＝0

D．x－y＋1＝0

角度二

已知切线方程(或斜率)求切点坐标

a32．设a∈R，函数f(x)＝ex＋x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，e2则切点的横坐标为________．

角度三

已知切线方程求参数值

3．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a＋b的值等于(

) A．2

B．－1

C．1

D．－2 ,

——导数与其他知识的交汇

抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是________．

(1)本题以y＝x2在x＝1处的切线问题为条件，利用导数的几何意义求得切线方程，构造出求x＋2y的取值范围的可行域，充分体现了导数与线性规划的交汇．

(2)利用导函数的特性，在求解有关奇(偶)函数问题中，发挥出奇妙的作用．

(3)导数还可以与数列、向量、解析几何等交汇．

(2017·武汉高三月考)已知曲线f(x)＝xn1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 017x1＋log2 017x2＋…＋log2 017x2 016的值为________．

＋

,

π11．(2017·惠州模拟)已知函数f(x)＝cos x，则f(π)＋f′＝(

) x23131A．－2

B．－2

C．－

D．－

πππππ2．(2017·大同模拟)已知函数f(x)＝xsin x＋ax，且f′＝1，则a＝(

) 2A．0

B．1

C．2

D．4

3．(2016·高考山东卷)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(

) A．y＝sin x

B．y＝ln x

C．y＝ex

D．y＝x3

4．曲线y＝sin x＋ex在点(0，1)处的切线方程是(

)

A．x－3y＋3＝0

B．x－2y＋2＝0

C．2x－y＋1＝0

D．3x－y＋1＝0 5．(2017·上饶模拟)若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2距离的最小值为(

) 2A．1

B．2

C．

D．3 2176．已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的22切点为(1，f(1))，则m的值为(

) A．－1

B．－3

C．－4

D．－2 7．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(2 017)＝________．

8．若直线l与幂函数y＝xn的图象相切于点A(2，8)，则直线l的方程为________．

9．(如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的

切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________．

10．(2017·保定一模)函数f(x)＝ln x＋ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．

111．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C. 3(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；

(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．

12．(2017·安徽安庆二模)给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．已知函数f(x)＝3x＋4sin x－cos x的拐点是M(x0，f(x0))，则点M(

) A．在直线y＝－3x上

B．在直线y＝3x上

C．在直线y＝－4x上

D．在直线y＝4x上

13．已知函数f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；

(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；

1(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．

4

14．(2017·河北省唐山一中月考)已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0. (1)求a的值；

(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．