2.2.2 椭圆的几何性质精品学案

课题:椭圆的简单几何性质

一.教学目标：

知识目标：（1）掌握椭圆的简单几何性质。初步学习利用方程研究曲线几何性质的方法。

（2）掌握方程中a、b、c的几何意义及三者之间的关系。

能力目标：（1）能够运用椭圆的简单几何性质解决实际问题。

（2）培养学生观察分析，类比猜想，逻辑推理的思维能力及用数形结合思想解决问题的能力。

情感目标：通过自主探究、合作交流激发学习兴趣和探索问题的勇气，培养良好的思维品质。

二、教学重点、难点

重点：掌握椭圆的范围、对称性、顶点的概念、离心率及其应用

难点：椭圆几何性质的形成过程。

三、教学方法与教学手段

1.教学方法：本课采用问题探究法，以问题为载体，通过设计活动，让学生在讨论中明知，在争论中解惑，在思考中提升。

充分发挥学生的主体地位，营造生动活泼的课堂气氛。通过学生亲身体验，培养自主探究、归纳类比的学习能力。

2.教学手段:多媒体

四、教学过程：

1.情境引入

引例：2010年10月1日下午十八时，随着一声巨响，我国研制的嫦娥二号载人飞船，从西昌卫星发射中心顺利升空，不久，飞船进入了以近地点200公里，远地点347公里的椭圆轨道围绕地球运行，举世瞩目，万众欢腾。请问你能利用所学的知识求出椭圆轨道的方程吗？你想知道椭圆有哪些重要的几何性质吗？今天这一节课我们就来探讨这些问题. 设计意图：通过同学们熟悉的例子，引入新课，激发学生的爱国热情和好奇心，激起他们强烈的求知欲，

从而引入课题。

2.探究新知

（1）范围：

问题1、上节课我们学习了椭圆的标准方程，其实椭圆特别像我们平常吃的一种水果，是什么呢？

问题2、如果要把哈密瓜进行包装，你会选择什么样的盒子包装？

问题3、我们能否把椭圆也包装一下呢？这就是我们要研究的椭圆的第一个性质----范围

设计意图：把抽象的东西具体化，便于学生记忆，解决了本节课的难点，同时也体现出数学来源于生活，让学生感知数学是有用的. x2y2从标准方程得出21,21,即有axa,byb，知椭圆落在abxa,yb组成的矩形中．

设计意图：由图形观察到的范围只是直观感受，要想上升到理性思维中，必须进行严格的代数论证。用不等式的思想研究曲线性质的方法同时培养学生数形结合思想以及知识迁移能力。 （2）对称性：

从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。

从方程上看：把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；

把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；

把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。

（3）顶点：

x2y2在椭圆221的方程里，令y0得xa，因此椭圆和x轴有两个交点abx2y2A(a,0),A2(a,0)，它们是椭圆221的顶点

ab令x0，得yb，因此椭圆和y轴有两个交B(0,b),B2(0,b)，它们也是x2y2椭圆221的顶点

因此椭圆共有四个顶点：

abA(a,0),A2(a,0)，B(0,b),B2(0,b)

A1A2叫椭圆的长轴，B1B2叫椭圆的短轴．长分别为2a,2b

a,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点. 根据前面所学有关知识画出下列图形

x2y2x2y21 （2）1

（1）2516254设计意图：此题起到一个承上启下的作用，是之前所学的椭圆的范围，对称性，顶点这三个性质的巩固，同时也为学习椭圆的离心率奠定了基础。

（4)椭圆的离心率e 概念：椭圆焦距与长轴长之比

e范围：0e1

bce1()2

aa1）e越接近 1，c就越接近

a，则

b就越小，椭圆就越扁

2）e越接近 0，c就越接近 0，则

b就越大，椭圆就越圆

思考：当e0时，曲线是什么？当e1时，曲线又是什么？

设计意图：让学生自己感知e的变化对椭圆扁圆程度的影响，培养学生逻辑推理的能力.通过思考极限状态加深学生对离心率的理解. 标准方程

2y2x21(ab0)2a

b

xa,yb

关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称

a,0、a,0、0,b、0,b

c,0、c,0

长半轴长为a,短半轴长为b,

ab.

eca范围

对称性

顶点坐标

焦点坐标

半轴长

离心率

a、b、c的关系

a²=b²+c²

设计意图：用表格的形式展现本堂课的内容，培养学生归纳总结类比推理的能力. 3、典型例题

例1、已知椭圆9x225y2225

它的长轴长是： 。 短轴长是： 。

焦距是： 。 离心率等于： 。

焦点坐标是： 。顶点坐标是： 。

外切矩形的面积等于： 。

练习:求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。

（1）x29y281 (2)

16x225y2400

(3) 16x2y225 (4) 4x25y21 设计意图：巩固新知，加强理解与记忆

例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）经过点P（-3，0）

、Q（0，-2）

；

3（2）长轴长等于20,离心率等于．

5练习：已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（3，0），求椭圆的方程。

设计意图：学生作答，学生补充进一步巩固所学内容，同时培养学生分类讨论的思想。 4、课堂小结：

（1）本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。

（2）了解研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系。

（3）突出了方程的作用，加深了对解析法（用代数的方法研究几何问题）的认识，体现了数形结合思想的应用。

5、布置作业：必做题:

P36

练习2、3、4、5、6题; 选做题:习题2.2 (2)7、10、13题;

设计意图:把课本习题作为作业题,以巩固所学的新知识.分层布置也是充分考虑学生之间的差异,对数学较好的学生提出更高的要求. 四、板书设计：

椭圆的简单几何性质

1、

范围 4、离心率

2、

对称性 例1 3、

顶点 例2 设计意图:这样的板书简明清楚,重点突出,加深学生对椭圆几何性质的理解,便于记忆,有利于提高教学效果. 椭圆的简单几何性质设计说明

一．

本课数学内容的本质，地位，作用分析

：

根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题和主要目的．利用方程讨论一条不熟悉的曲线的几何性质，这是学习解析几何以来的第一次，因此，不仅要注意对研究结果的理解和运用，还需要对研究方法的学习．本节内容是在学习了椭圆定义及其标准方程之后，系统地按照方程来研究椭圆的几何性质．这种方法为后面学习双曲线、抛物线及进一步学习其它知识奠定了基础．

通过本节课的学习，可以进一步向学生渗透数形结合、函数与方程等思想方法，同时，对培养学生的观察、猜想、归纳、类比、创新等能力也都有着重要的作用．

二．

教学目标分析：

根据新课标的要求，结合本节教材的特点以及高二学生已具备的知识和能力，我把本节课的教学目标确定为：

知识目标：（1）掌握椭圆的简单几何性质。初步学习利用方程研究曲线几何性质的方法。

（2）掌握方程中a、b、c的几何意义及三者之间的关系。

能力目标：（1）能够运用椭圆的简单几何性质解决实际问题。

（2）培养学生观察分析，类比猜想，逻辑推理的思维能力及用数形结合思想解决问题的能力。

情感目标：通过自主探究、合作交流激发学习兴趣和探索问题的勇气，培养良好的思维品质。

三．

教法，学法特点以及效果分析：

1.教法：本课采用问题探究法，以问题为载体，通过设计活动，让学生在讨论中明知，在争论中解惑，在思考中提升。

充分发挥学生的主体地位，营造生动活泼的课堂气氛。通过学生亲身体验，培养自主探究、归纳类比的学习能力。

2.学法：根据学法指导自主性和差异性原则，让学生在“观察——发现——类比——归纳——应用”的学习过程中，自主参与知识的发生、发展、形成的过程，使学生掌握知识，发展思维能力。

3.效果分析:根据学生的课堂练习与课后练习，可以看出学生对本课所学知识已经基本掌握，并且具备了部分解决相关问题的能力。从课后的调查可以看出，

首先，通过实例引入课题,学生感到比较亲切有趣,更能激发学生的求知欲,在讨论范围时给出了一个形象的例子,学生更容易理解. 再次，让学生自己在坐标系中画出一个椭圆，自主探究椭圆上点的对称性,增强学生的理解. 当堂检测及时对所学内容进行的检测，并找到问题所在，及时解决。