2.2.1 椭圆的标准方程课时教学实录

轨迹与椭圆

一、教材与学情分析：

本节课根据选修1-1第二章第一节《椭圆及其标准方程》第一课时改编设计而来，同时也适用于选修2-1。

首先，椭圆是学生在解析几何中继学习了直线与圆之后，运用坐标法研究曲线方程的又一次实际演练，同时也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础，因此，本节教学起着承上启下的作用，学好本章内容，是串联起整个高中解析几何知识的关键。

在此之前学生已经学习过运用坐标法解决解析几何问题，但掌握不够；而且从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生思维存在一定的障碍；遇到的根式方程化简又是学生并未接触过也并未要求的。

同时，轨迹问题作为高考的高频考点，涉及面广，学生并不陌生，对形象的图形语言更容易接受、理解和运用，所以利用轨迹的来学习椭圆既容易上手，也能为研究其他圆锥曲线搭建好学习桥梁。用形象的图形语言描述椭圆轨迹，充分体现数学数形结合的思想，能有效的增强训练学生学习解析几何的数学思维。

二、教学目标

(1)知识目标：

掌握轨迹的定义和轨迹方程的推导，并能以此解决椭圆的定义、标准方程及其推导过程。

(2)能力目标：

通过操作实践、自主学习、合作探究等，提高学生实际动手、合作探究以及运用知识解决问题的能力。

(3)情感目标：

在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会形数美的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极探索、勇于创新的精神。

三、教学重点与难点

重点：轨迹及轨迹的方程推导和椭圆的标准方程和椭圆的定义。

难点：轨迹方程和椭圆的标准方程的推导。

四、教法学法

课堂以学生自主探究学习为主，教师引导、组织、帮扶为辅。师生之间采用“自主学习—合作探究—精讲点拨—有效训练”的教学模式，让学生们在动手操作，合作探究的过程中，领悟数学中实践、观察、猜想、论证、交流、反思等数学思维过程。

五、教学准备

1、多媒体电子白板

2、作图工具（硬纸板、粗线、铅笔、胶带）

六、教学过程

1

教学环节

教师活动

1、知识回顾：

圆的定义与圆标准方程的推导。

2、三个问题：

问题1：什么是轨迹？

问题2：圆的定义中的几何关系是什么？

学生活动

1、到一定点的距离等于定长的点的轨迹。

2、

(1)轨迹：指动点在空间中的位置

(2)动点M到定点的距离保持一致，即MOr(半径)。

(3)利用动点M（x，y）到定点O（a，b）距离等于定长r得到动点M（x，y）横、纵坐标x与y的关系式。

设计目的

让学生提前准备，自主复习和知识的查阅，锻炼学生自主学习的能力，同时也能快速的进入新课随时间连续变化而形成的曲线。

的学习。

复习导入

问题3：圆的标准方程是什么？如何得来？

3、方程化简：

MOr(xa)2(yb)2r

(xa)2(yb)2r2一、联系圆的定义思考：

0）两点距离相等的动点M的轨迹是什么图形？方程是什么？

学情预测：

①作图直接发现轨迹图形，由图形得到方程(几何法)

②根据圆方程的求法会类比列式化简出轨迹方程，再由方程得到轨迹图形(代数法)

归纳方法：

①作图分析

②利用条件和图形中的几何关系列方程并练习化简。

2、列方程

①发现满足条件的动点M都在y轴上，方程为x②设M(x,y)AMBM(x1)2(y0)2(x1)2(y0)2x01、作图

M1

设计目的：

1、小试牛刀，用简单的轨迹问题来训练学生动手作图，独立思考和解决问题的能力；

2、发现图形的几何关系和求解方程方法的关系，并掌握用方程来判断轨迹图像。

平面内到A（-1，0），B（1，

y

-1

M1

1

M3

A

O

B

x

新课探究

0

2

二、联合探究：

平面内到两定点

教学准备：

根据思考题的解题策略，让学生初步总结出解题方法，并在题设难度增加的前提下，能有方向性的思考问题，得出明确的解题思路。

继续作图分析，加强动手能力，和分析图形的能力，养成自主学习的习惯。

对于方程的化

简，虽然是难度较高的根式方程，但在教师指导下，学生也能亲自完成化简，也培养学生面对繁琐数学公式的耐心和细心。

最后让学生来总结椭圆的定义和方程，教

师完善，增强学生学习数学的自信心。

F1(c,0)F1(c,0)的距离之和等于定长2a的动点M的轨迹是什么？

轨迹方程怎么求？

学情预测：

①距离之和为定值图形无法下手

②利用几何关系列出的根式方程不会化简

策略：

①提前让学生准备工具：硬纸板、粗线、铅笔、胶带，带领学生操作画轨迹

y

M

F1

F2

x

②大胆写出最初的关系式，再由教师演示化简（化简过程将作为课后作业）

化简过程：

①移项(xc)2(y0)22a(xc)2(y0)2②平方(xc)2y24a24a(x-c)2y2(xc)2y2作图：

列式：

设M(x,y)由MF1MF22a

(xc)2(y0)2

(x-c)2(y0)22a③移项(xc)2y2-4a2-(x-c)2y2-4a(x-c)2y2④化简a2cxa(x-c)2y2⑤平方a42a2cxc2x2a2x22a2cxa2c2a2y2⑥整理(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)⑦同除a2(a2c2)x2y22212aac⑧令b2(a2c2)x2y21a2b2

3

最后，总结椭圆的定义与标准方程；给定椭圆初步的几何性质。

知识小结：

椭圆定义：平面内到两定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距。

22椭圆标准方程：xy1(ab0；a2b2c2)

22ab方法小结：

(x,y)求动点的轨迹方程①设动点坐标为例1：如图，设A,B两点坐标为式，并化简②利用题设几何关系列Step1：列式

1、学以致用，将刚学到的方法及时得到训练，及时检查出学生学习中的问题和困难；

2、具体的题型计算，不仅是思维方法的检验，也是计算能力的检验。

(5,0),(5,0)，直线AM,BM相交于点M，且他们的斜率之积是4-9，求点M的轨迹方程. 设M的坐标为(x,y)，因为点A的坐标是(-5,0)，所以直线AM的斜率:

y

M

A

B

x

kAMy(x5)

x5y(x5)

x5同理，直线BM的斜率：

kBM由已知有

练习巩固

根据最后的方程形式，得出动点M的轨迹是一个椭圆。

1、认识什么是动点的轨迹；

yy4-(x5)

x5x59Step2：化简

化简，得点M的轨迹方程为：

2

xy2

1(x5)2510091、培养归纳、概括能力，并巩固研究成果。

2、使学生理清这节课的重难点，深化对基本概念，基本理论的理解。

1、巩固训练轨迹方程的化简；

2、学会动手作图了解轨迹问题中的几何关系；

课堂小结

3、如何利用几何关系去求出轨迹的方程；

4、椭圆的定义和方程是什么；

5、根式方程如何化简。

1、求平面内到两定点的距离之和等于定长2a的动点M的轨迹方程（即焦点在y轴上的椭圆方程）

课后作业

2、如图，设A,B两点坐标为(-1,0),(1,0)，直线AM,BM相交于点M，2、提升利用轨迹方程且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？

描述轨迹的技巧；

3、拓展思考：空间中到两定点的距离之和为定值的动点的轨迹是什么？只思考是什么图形，不求方程。

3、拓展思维，提高自主探究学习能力。

4

七、板书设计

标题：轨迹与椭圆

作图：

推导与计算：

轨迹定义：

椭圆定义：

（运动过程多媒体展示）

（例题多媒体展示）

椭圆方程：

求轨迹方程步骤：

八、教学反思

本节课是以方程推导为主，通过求普通的轨迹方程来解决独特的椭圆的方程，多媒体演示与实物操作协同教学。教学中还有以下几点需要完善：①学生还需加强课前的准备工作，完善作图工具；②椭圆轨迹作图难度大，演示后需要多让学生亲自操作，多观察作图过程中的几何关系变化情况；③方程化简是学生的难点，需要详细的讲解，化简过程需要逐步标明方法。总体来说，整堂课已完成了预设的教学目标，突破了教学难点。

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