3.1.1 变化率问题优秀教案设计

平均变化率教学设计

教材的地位和作用

“导数及其应用”在整个高中教材中的地位和作用是非常重要的，它既是对函数知识的补充和完善，也为今后进一步学习微积分奠定基础。通过本章的学习，促进学生全面认识数学的价值（应用价值、科学价值、文化价值），使学生对变量数学的思想方法有新的感悟，从而进一步发展学生的数学思维能力。

《普通高中数学课程标准（实验）》对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限、一种“规则”来学习的处理方式，而是按照“平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义”的顺序来安排，用“逼近”的方法定义导数，这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，突出了导数概念的本质。平均变化率是本章的一个重要的基本概念，本节课是“导数及其应用”的起始课，对导数概念的形成起着奠基作用。

教学目标

1.知识与技能

通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型。

2.过程与方法

理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率。

3.情感、态度与价值观

感受数学模型刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力。

教学重点

平均变化率的概念。

教学难点

平均变化率概念的形成过程。

教学方法

启发式教学与探究式学习相结合。

教学工具

多媒体课件、实物投影仪。

教学过程

一、创设情境，提出问题

（教师出示情境1.）

情境1：***同志在党的十七大报告中提出：“增强发展协调性，努力实现经济又好又快发展。转变发展方式取得重大进展，在优化结构、提高效益、降低消耗、保护环境的基础上，人均国内生产总值(GDP)到2020年比2000年翻两番”。（2000年中国人均GDP为856美元，2020年约为3500美元。）

尤其令人振奋的是：十六大以来，我国国民经济保持平稳快速发展，2002年我国人均GDP首次超过1000美元，达到1100美元，在短短的4年内于2006年又超过2000美元，达到2010美元。我国已经由低收入国家步入了中等收入国家行列，标志着我国在向全面建设小康社会的进程中又迈出了坚实的一步。 时间x／年 2000 2002 2006 2020 人均GDPy／美元 856 1100 2010 3500

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师：如何从数学角度刻画2002年至2006年这4年我国人均GDP“猛增”？

生1：可以用GDP增长的百分率来刻画。

师：还有不同想法吗？

生2：可以用平均每年增长的GDP来刻画。

（师生合作，共同计算出平均每年增长的GDP；师生探究，得出比值反映了在某一时间段内我国人均GDP变化的快慢程度。）

（教师出示情境2.）

情境2：如图1所示。

某小区近十来年的房价变化图

图1

师：如何从数学角度刻画龙江小区近十来年的房价“暴涨”？

生3：可以通过计算：

(1)1995年至2005年这10年内房价平均每年增加多少元？

(2)2005年至2006年这1年内房价平均每年增加多少元？

(3)2006年至2007年这1年内房价平均每年增加多少元？

比较所得结果，知可以用平均每年增长的房价来刻画。

（师生合作，共同计算出平均每年增长的房价；师生探究，得出比值反映了在某一时间段内房价变化的快慢程度。）

（教师出示情境3.）

情境3：如图2所示。

图2 师：11:15～11:25这段时间内股指发生了怎样的变化？

生4：11:15～11:25这段时间内股指“跳水”了。

师：如何从数学角度来刻画？

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生4：可以用通过计算：

(1)A～B这段时间内股指平均每分钟下跌多少点？

(2)11:15～11:25这段时间内股指平均每分钟下跌多少点？

比较所得结果，知可以用平均每分钟股指下跌的点数来刻画股指“跳水”。

（师生合作，共同计算出平均每分钟股指下跌的点数；师生探究，得出比值反映了在某一时间段内股指变化的快慢程度。）

（教师出示情境4.）

情境4：某市2007年3月和4月某天日最高气温记载如下表和图3所示： 时间t/d 3月18日 4月18日 4月20日

日最高气温T/℃ 3.5 18.6 33.4

图3

4月20日那天人们会惊呼“天气热得太快了”！

师：如何从数学角度刻画气温“陡升”？

生5：可以用通过计算：

(1)3月18日～4月18日这31天内气温平均升高多少摄氏度？

(2)4月18日～20日这2天内气温平均升高多少摄氏度？

比较所得结果，知可以用平均每天气温升高的度数来刻画气温陡升。

（师生合作，共同计算出平均每天气温升高的度数；师生探究，得出比值反映了在某一时间段内气温变化的快慢程度。）

【设计意图】通过GDP猛增、房价暴涨、股指“跳水”、气温陡升等贴近学生生活的实例，让学生感知客观世界存在着变化快慢不同的现象，并通过探索得到可以用平均变化率来刻画这种快慢程度。通过对生活中的实例的分析达到概念的自然形成，学生不会感到突兀，而会觉得数学来源于生活，生活中处处蕴含着数学化的知识，同时可以提高他们学习数学的主观能动性，这样的教学效果比较好。

二、意义建构，建立概念

师：前面所研究的4个情境中都有两个变量，可以用什么模型来刻画两个变量之间的关系？

生6：函数模型。

师：用什么数学模型刻画函数值变化的快慢程度？

生7：可以用函数值的差与自变量的差的比值来刻画。

师：很好。这个比值称为函数在某一区间上的平均变化率。

师：（思考1）你能给出函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的定义吗？

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生8：函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的定义为师：（思考2）平均变化率有怎样的几何意义？

f(x2)f(x1)

x2x1生9：平均变化率有怎样的几何意义就是经过函数f(x)图象上两点(x1,f(x1))和(x2,f(x2))的直线的斜率

【设计意图】由特殊到一般给出函数f(x)的平均变化率的定义，并了解它的几何意义。通过学生活动及模仿举例，使学生理解平均变化率概念在生活中的应用。

三、探究活动，感悟概念

师：在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，据此，你能评价甲、乙两人的经营成果吗？

生10：不能评价。因为条件不够，比如没有时间限制。

师：如果甲、乙两人投入相同的资金经营某商品，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，你能评价甲、乙两人的经营成果吗？

生11：乙的经营成果好。因为乙5个月挣到2万元，甲平均1年挣到2万元，说明乙平均每月挣钱的速度比甲快。

师：试举出生活中与平均变化率有关的例子。

（学生举例。教师备用例子有刘翔110米栏、蹦极运动等。）

【设计意图】通过活动让学生用“平均变化率”模型解释生活中的数学问题，使学生丰富对“平均变化率”模型的认识，同时启发学生运用“平均变化率”概念探究新问题，提高他们学习数学的主观能动性。通过师生交流、学生活动及时了解学生的学习状况。

四、例题讲解，运用概念

例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图4所示，试分别计算该婴儿从出生到第3个月、第6个月到第12个月体重的平均变化率。

图4

（学生回答，教师板演，按要求计算得出结果。）

师：算完两个数值后有何想法？

生12：说明平均变化率这个量可以反映婴儿从出生到第3个月体重的增长比第6个月到第12个月体重的增长快。

（师生合作，共同感悟平均变化率这个数学模型的实际意义。）

例2 已知函数f(x)=2x+1,g(x)=-2x，分别计算在区间[-3,-1]和[0,5]上f(x)及g(x)的平均变化率。

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（学生按要求计算得出结果。）

师：有没有其他办法解答此题？

生13：不用算就可以知道答案，因为所给的函数都是一次函数，由平均变化率的几何意义就可以得出答案。

师：很好，那么一次函数y=kx+b(k≠0)在区间[m,n]上的平均变化率有什么特点？

生14：一次函数y=kx+b(k≠0)在区间[m,n]上的平均变化率为定值k。

（启发学生运用概念探究新问题，提高学习数学的主观能动性。）

【设计意图】例1问题尽管简单，但通过要求书写规范，可以培养学生好的答题习惯。例2可以运用概念计算得出结论，从“数”的角度理解“平均变化率”概念；同时从“形”的角度通过平均变化率的几何意义得出解答，两者殊途同归。例题讲解，由数学外部到数学内部，从模仿举例、尝试探究到拓展应用，使学生加深对平均变化率概念的认识。

五、尝试练习，巩固概念

2

练习：一运动质点的位移s与时间t满足s(t)=t，分别计算s(t)在下列区间上的平均变化率。（位移单位为m，时间单位为s）：

(1)[1,3];

(2)[1,2];

(3)[1,1.1];

(4)[1,1.001];

(5)[1,1.0001]; (6)[0.999,1];

(7)[0.99,1];

(8)[0.9,1]。

（学生按要求计算得出结果）

师：从计算结果中能发现什么吗？

生15：这组数值反映质点在区间(1)～(5)上的速度增加得越来越慢，特别当区间[1,t]中的t逼近1时，平均变化率的值逼近2。

师：（思考3）如何刻画t=1这一时刻质点运动的快慢程度呢？请课后思考。

（教师接着利用几何画板进行数与形相结合教学，使学生感悟瞬时变化率可以刻画质点在某一时刻运动的快慢程度。）

【设计意图】由区间长度的缩小，通过计算从数的角度观察相应的平均变化率变化的趋势，通过几何画板的演示，从形的角度进一步感悟变量数学的思想，通过逼近的思想方法为瞬时变化率的学习作铺垫，达到承上启下的作用。

六、回顾反思，理解概念

师：（小结）学习这节课的收获是什么？你想进一步探究的问题是什么？

生16：这节课我的收获是定义。我想进一步探究的问题是：如何刻画质点在某一时刻的快慢程度？

【设计意图】通过开放式小结，使学生学会学习，培养他们学习的主动性。

七、布置作业

必做题：课本第7页的第2题和第3题。

选做题：我们都吹过气球，回忆吹气球的过程可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢。请从数学角度描述这种现象。

2

思考题：一运动质点的位移s与时间t满足s(t)=t，如何刻画t=1这一时刻质点运动的快慢程度呢？（位移单位为m，时间单位为s）

【设计意图】必做题、选做题、拓展题，分层教学，因材施教。选择不同层次的练习，以利于学生巩固知识、提高能力。

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