习题2.4公开课教案（教学设计）

选修2-1：§2.3.1抛物线的定义与标准方程教学设计（第一课时）

一、教学内容解析

解析几何的基本思想是通过建立直角坐标系，用代数方法解决几何问题。它主要研究两个问题：(1)已知曲线求方程；(2)已知方程研究曲线性质。而椭圆、双曲线、抛物线是重要的圆锥曲线，是学生掌握解析几何的关键，是领会解析法的重要途径，是数形结合的重要载体；抛物线在教材中位于椭圆、双曲线之后，一方面椭圆、双曲线的研究方法可类比过来，另一方面，作为不封闭的曲线，它有四种形式的标准方程；本节课是抛物线及其标准方程的第一课时，主要探究抛物线的几何特征，形成抛物线的概念，推导抛物线的标准方程，属于概念性知识和程序性知识。

本节课蕴涵着丰富的数学思想，在解析几何中处处体现的数形结合思想；本节课在研究抛物线时始终类比着椭圆的研究方法，体现了类比思想；使用待定系数法求抛物线的标准方程，要建立关于系数的方程，体现了方程思想。

本节课的教学重点是抛物线概念的形成及其标准方程的推导。

二、教学目标设置

1.掌握抛物线的定义、标准方程及其推导过程，并能简单应用．

2.处处类比椭圆、双曲线的研究方法引导学生画曲线、形成抛物线的概念、推导标准方程，并进行简单应用．进一步渗透“数形结合”思想，巩固“坐标法”。

3.通过探索抛物线定义及其标准方程过程，体验数学活动充满着探索与创造，使学生在学习活动中获得成功的体验．锻炼克服困难的意志，建立自信心．

三、学生学情分析

学生在生活中接触过抛物线，知道初中学习的二次函数的图像是抛物线，对抛物线的图形有了初步的了解，但是要弄清抛物线的几何特征，进而形成抛物线的概念还是有困难的；前面学生已经学习了椭圆、双曲线及其标准方程，初步掌握了曲线方程的求法，这为他们类比椭圆的研究方法研究抛物线奠定了基础，但是学生对求曲线方程的方法还不熟练，在抛物线的标准方程的推导上可能会产生困难。

本节课的教学重点：是理解抛物线概念的形成和标准方程的推导。

教学难点：抛物线并定义的形成过程及抛物线方程的推导

为了突破这个难点，我采取的方式是用几何画板展示，在动点的运动过程中归纳出轨迹的几何特征，通过观察直观感知出轨迹具有对称性（不一定和学生说）。要弄清轨迹是什么，很自然的想到去求轨迹方程（其实这里我们的目标是求标准方程）。为了突破第二个难点，我引导学生类比椭圆方程的推导方法，通过讨论，建立不同的坐标系，并让学生分组求出方程，熟悉曲线方程的求法，体验建系方式的不同对方程简洁的影响，并总结一般的建系方式，最后引导学生利用图形的对称性推导抛物线其它的标准方程。推导出二次曲线的方程后在给出抛物线的定义学生容易接受。

四、教学策略分析

本节突出解析几何的基本思想，处处类比椭圆、双曲线的研究方法，从生活中的抛物线图片和初中学习的二次函数的图象引出课题，然后引导学生根据抛物线的几何特征画图，得出轨迹，再通过方程得出抛物线的定义，同时引导学生经历求抛物线标准方程，从中进一步领会求曲线方程的方法，体会建系方式的不同对方程简洁程度的影响，最后引导学生简单运用。

本节课我主要采用“问题驱动引入”教学方法，在课堂教学过程中，尊重学生，真实的展现学生的学习活动过程，教师给以恰当的点拨、启发。

本节课充分利用信息技术作为教学辅助手段，使用PPT和几何画板，利用实物投影仪展示学生探究成果。

五、教学过程分析

教学环节

教学内容

师生活动

设计意图

课题引入

前面我们已经学习了椭圆及其标准方程，今天我们共教师展示生同学习一种新的曲线。

活中的抛物线图片、投篮它在生活中随处可见；

动画；板书课还有我们初中学习的二次函数图象。

这是什么曲线？

这就是我们今天要研究的抛物线。

题并展示

生活中的抛物线图片和二次函数图像引入，消除学生对抛物线的陌生感

那么，具有什么几何特征的曲线是抛物线呢？先来看

下面的问题。

问题1：利用几何画板作图，给定一定直线l和直线

外一定点F 直

观

（1)在直线l上任取一点A，

（2)过点A作直线l的垂线a （3)连接AF （4)作线段AF的中垂线交直线a与点M

教师引导学

生合作作图、感

通过画图，板演

让学生亲身知

体验抛物线 当点A在直线l上运动时，观察点M的轨迹

的形成过从作图的过程我们知道，作出的曲线就是平面内到定学生讨论作程，加深学点和定直线的距离相等的点的轨迹，从直观上看，它像是图方案教师生对抛物线展示作图动的几何特征抛物线。

画

的理解

解析几何的基本思想是通过建立直角坐标系，用代数

方法解决几何问题。

它主要研究两个问题：

(1)已知曲线求方程；(2)已知方程研究曲线性质。

在椭圆里我们得到定义后，首先是推导标准方程，然

后是根据标准方程研究椭圆的几何性质。

例1：已知定点F，定直线

教师提出问题

方l且Fl。动点P到F和l的程推距离相等，设点F到直线l的导

距离为p(p0)，在适当的坐

F

l

D

P

标系中求动点P(x,y)的轨迹方程。

在学习椭圆时，我们是如何得到椭圆的标准方程的？

教师引导学生复习椭圆建系-设点-找x与y的关系（利用椭圆的几何特征建标准方程的立关于x与y的关系的方程）-化简（利用平方去根号）-推导过程，学（检验方程）

生共同回答，教师小结

首先要建系，我们在椭圆里是怎么建系的？

方程推导

利用对称性，

在这里，我们可以怎样建系？

学生讨论、思考、回答，教师小结

请同学们按照求曲线方程的步骤对这三种建系方式

推导方程。 三种不同的坐标系中，求出的抛物线方程如下：

12p12p12x

，

yx

，yx

2p22p22py学生分组推导，教师展示学生成果，提问其中一个学生回答推导过程

这是我们初中所学的二次函数，它的图象是抛物线。

概念形成

问题2：你能给出抛物线的定义吗？

平面内到一个定点F和一条定直线l 距离相等的点

的轨迹叫抛物线.

其中定点F叫作抛物线的焦点, 定直线l 叫作抛教师展示，学物线的准线. 生理解、记忆

问题3：为什么定点不能在定直线上？

这三个方程有什么特点？哪个更简洁？

教师引导学

生思考、回答

前两个有常数项，第三个没有，更简洁，建系方式的不同引起了方程的不同，恰当的建系方式就是能使方程呈教师小结

现最简洁的形式，用最简方程研究问题更方便。

标准方程

一般来说为了让方程简洁，中心对称图形，对称中心学为坐标原点；轴对称图形，对称轴为坐标轴；定点要放到教师展示，生理解、记忆

坐标轴上。 以上建立坐标系的方式中对于最低点在坐标原点的情况是我们重点研究的，习惯上把y12x，写成2px22py，其中P的意义:定点到定直线的距离。

我们把它叫作抛物线的标准方程。

刚才我们得到的两个方程都是顶点在坐标原点，焦点教师引导学引导学生类在坐标轴上的抛物线的方程，叫做抛物线的标准方程。

生思考、回答

比椭圆或双曲线标准方我们知道椭圆的标准方程有两个，抛物线呢？

教师小结

程，推导抛问题4：抛物线的开口方向还有几种情况？试求出它

们的方程，并填写下表。

图形

标准方程

焦点坐标

准线方程

物线的方程，一方面让学生进一步熟悉曲线方程的求法；另一方面，让学生亲身感受建系不同对方程简洁程度的影响，体会建系的重要性，掌握建系的基本原则

x22py(p0)

标准方程

在这里我们不需要再按曲线方程的求法来求，第二个与第一个关于y轴对称，拿-x替换x；第三个相当于第一个交换x、y轴，交换x、y即可；第四个与第三个关于x轴对称，拿-y替换y。

椭圆的两个标准方程是怎样区别和记忆的？抛物线的四个标准方程又如何区别和记忆，你能发现什么规律？

小结：①方程的一次项决定焦点的位置。

②一次项系数的符号决定开口方向。

引导学生自教师引导学己推导抛物生思考、回答

线的其他的标准方程，教师小结

体验图形变化引起的方程变化，考虑学生不同的思维层次。

引导学生自己总结四个标准方程的特点，加深印象，方便记忆

活动：完成下列例题。

例1.求适合下列条件的抛物线的标准方程.

教师引导，学

生思考回答， (1)焦点为F(0, -2) (2)准线为x= -2 回扣定义加教师板书

深理解，掌2例2 已知抛物线y=8x上一点P到焦点F的距离为10，

握方程

求点P的坐标. 小结: （1）知识方面

抛物线的定义与标准方程及其应用

（2）重要方法

曲线方程的求法、待定系数法

（2）数学思想方面

数形结合、类比、待定系数法

思考：你能说明二次函数yax2

(a¹0)的图象为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程。

总1、一种圆锥曲线：抛物线的定义及其标准方程

；

结2、两个重要方法：曲线方程的求法、待定系数法；

升华

3、三种数学思想：数形结合、类比、方程的思想。

1、课本1.课本P60练习

师生共同完成

学生练习、板

演，教师订正点评、小结

分层教学，作让学有余力教师展示

2业2.现在我们已经知道抛物线 y=ax+bx+c(a≠0)有焦点和的同学初步学生记录、课体会圆锥曲布准线，你能求出它的焦点和准线吗？

下探究

置

线的联系与

区别

六、板书设计

2.3.1 抛物线的定义与标准方程

一、抛物线的定义