1.2.1 充要条件第二课时教学实录

充分必要条件

一、考点突破

知识点

课标要求

1. 理解充分、必要、充要条件的意义；

2. 能熟练判断条件与结论之间的充分充分条件与必要条件

（必要、充要）性；

3. 在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系。

选择题

填空题

注意转化思想在充分条件、必要条件和集合之间的相互转化。

题型

说明

二、重难点提示

重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义。

难点：必要条件的定义、充要条件的充分必要性。

1. 充分条件与必要条件

命题真假

推出关系

条件关系

2. 充要条件的概念

一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件。

概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件。

【规律总结】

充分条件与必要条件的判断方法

（1）定义法：借助“⇒”号，可记为：箭头所指为必要，箭尾跟着充分。

用定义法判断直观、简捷，且一般情况下，错误率低，在解题中应用极为广泛。

（2）集合法

从集合角度看，设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}。

①若AB，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的充分不必要条件。

②若BA，则p是q的必要条件；若BA，则p是q的必要不充分条件。

③若A＝B，则p是q的充要条件。

④若AB，且BA，则p是q的既不充分也不必要条件。

（3）等价转化法

当某一命题不易直接判断条件和结论的关系（特别是对于否定形式或“≠”形式的命题）时，可利用原命题与逆否命题等价来解决。

（4）传递法

充分条件与必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒p3⇒…⇒pn，则可得p1⇒pn，充要条件也有传递性。

【随堂练习】已知下列各组命题，其中p是q的充分必要条件的是（

）

A. p：m≤－2或m≥6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点

B. p：“若p，则q”是真命题

p⇒q p是q的充分条件

q是p的必要条件

“若p，则q”是假命题

pq

p不是q的充分条件

q不是p的必要条件

fx＝1；q：y＝f（x）是偶函数

fxC. p：cos α＝cos β；q：tan α＝tan β

D. p：A∩B＝A；q：A⊆U，B⊆U，∁UB⊆∁UA

思路分析：首先要分清条件和结论，然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题，做出判断。

答案：对于A，由y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点，可得Δ＝m2－4（m＋3）>0，从而可得m<－2或m>6.所以p是q的必要不充分条件；

fx＝1⇒f（－x）＝f（x）⇒y＝f（x）是偶函数，但由y＝f（x）是偶函fxfx数不能推出＝1，例如函数f（x）＝0，所以p是q的充分不必要条件；

fx对于B，由对于C，当cos α＝cos β＝0时，不存在tan α＝tan β，反之也不成立，所以p是q的既不充分也不必要条件；

对于D，由A∩B＝A，知A⊆B，所以∁UB⊆∁UA；

反之，由∁UB⊆∁UA，知A⊆B，即A∩B＝A。

所以p⇔q。

综上所述，p是q的充分必要条件的是D。

技巧点拨：判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题。

例题1

（充分条件、必要条件、充要条件的判断）

（1）已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），下列结论正确的是（

）

①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；

②Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件；

③Δ＝b2－4ac＞0是这个方程有实根的必要条件；

④Δ＝b2－4ac＜0是这个方程没有实根的充要条件。

A. ③④

B. ②③

A. 充分不必要条件

C. 充要条件

C. ①②③

D. ①②④

（2）若p：（x－1）（x＋2）≤0，q：x＜2，则p是q的（

）

B. 必要不充分条件

D. 既不充分也不必要条件

思路分析：（1）Δ＝b2－4ac与方程有何关系？当Δ＝0，Δ＞0或Δ＜0时，一元二次方程的根的情况如何？（2）不等式（x－1）（x＋2）≤0的解集是什么？p、q有怎样的关系？

答案：（1）①对，Δ≥0，方程ax2＋bx＋c＝0有实根；

②对，Δ＝0，方程ax2＋bx＋c＝0有实根；

③错，Δ＞0，方程ax2＋bx＋c＝0有实根，但ax2＋bx＋c＝0有实根D④对，Δ＜0，方程ax2＋bx＋c＝0无实根。故选D. （2）p：－2≤x≤1，q：x＜2，显然pq，但qp，即p是q的充分不必要条件，故选A。

技巧点拨：判断p是q的什么条件，主要判断pq，及qp两命题的正确性，若pq为真，则p是q成立的充分条件；若qp为真，则p是q成立的必要条件。要证明p与q不能相互推出，可以举出一个反例进行否定。

例题2

（充分条件、必要条件、充要条件的应用）

（大连高二期末）设集合A＝{x|－x2＋x＋6≤0}，关于x的不等式x2－ax－2a2＞0的解Δ＞0；

集为B（其中a＜0）。

（1）求集合B；

（2）设p：x∈A，q：x∈B，且p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围。

思路分析：（1）不等式x2－ax－2a2＞0的解集是什么？

（2）由“

p是q的必要不充分条件”可得怎样的推出关系？这种推出关系的等价关系是什么？表现在集合上又是怎样的？

答案：（1）x2－ax－2a2＞0⇔（x－2a）（x＋a）＞0，解得x＞－a或x＜2a。

故集合B＝{x|x＞－a或x＜2a}。

（2）方法一

若p是q的必要不充分条件，则q⇒p，

由此可得p⇒q，则A＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|（x－3）（x＋2）≥0}＝{x|x≥3或x≤－2} 由p⇒q，可得A ∴B，

a3，⇒a＞－1。

22a方法二

A＝{x|x≥3或x≤－2}，∁UA＝{x|－2＜x＜3}，而∁UB＝{x|2a≤x≤－a}，

由p是q的必要不充分条件，可得q⇒p，

即∁UB∁UA，

∴2a2，⇒a＞－1。

a3技巧点拨：1. 利用充分、必要条件求参数的取值范围问题，常利用集合法求解，即先化简集合A＝{x|p（x）}和B＝{x|q（x）}，然后根据p与q的关系（充分、必要、充要），得出集合A与B的包含关系，进而得到相关不等式组（也可借助数轴），求出参数的取值范围。

2. 判断p是q的什么条件，若直接判断困难，还可以用等价命题来判断，有时也可通过举反例否定充分性或必要性。

已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|（x－a）·（x－8）≤0}。

（1）求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5

（2）求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5

思路分析：解决此类问题一般是先把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，再根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解。

答案：（1）由M∩P＝{x|5

因此M∩P＝{x|5

（2）求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5

技巧点拨：利用充要条件求参数的值或范围，关键是合理转化条件，准确地将每个条件所对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算，一定要注意区间端点值的检验。

例题3

（充要条件的证明）求证：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不等的实根的充要条件是：0＜m＜1。

3思路分析：先找出条件和结论，然后证明充分性和必要性都成立。

答案：充分性（由条件推结论）：

∵0＜m＜1，

3∴方程mx2－2x＋3＝0的判别式Δ＝4－12m＞0，

∴方程有两个不等的实根。

123时，x1＋x2＝＞0且x1x2＝＞0，故方程mx23mm1－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根，即0＜m＜⇒方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且3设方程的两根为x1、x2，当0＜m＜不相等的实根。

必要性（由结论推条件）：

若方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根，

412m0则有，

xx01211∴0＜m＜，即方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根⇒0＜m＜。

331综上，方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m＜。

3技巧点拨：

1. 证明p是q的充要条件，既要证明命题“p⇒q”为真，又要证明“q⇒p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性。

2. 证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论。

【例析】一次函数y＝－（

）

A. m＞0，n＞0

C. m＜0，n＜0

B. mn＜0 D. mn＞0 m1x＋的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是nnm0m1n【错解】由题意可得，一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、二、四象限，即nn10n解得m＞0，n＞0，所以选A。

【错因分析】p的必要不充分条件是q，即q是p的必要不充分条件，则q故本题应是题干⇒选项，而选项必要不充分条件，须满足p题干，选项A为充要条件。

p；要说明p是q的【防范措施】要说明p是q的充分不必要条件，须满足p⇒q，但q解题时一定要考虑周到，切莫顾此失彼。

p且p⇒q，q，但q⇒p；要说明p是q的充要条件，须满足p⇒q且q⇒p，m0m1n【正解】

一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、二、四象限，即得

1nn0nm1m＞0，n＞0．故由函数y＝－x＋的图象同时经过第一、二、四象限可以推出mn＞0，nn

而由mn＞0不一定推出函数y＝－m1x＋的图象过一、二、四象限，所以选D。

nn