3.1.3 导数的几何意义教学实录与评析

导数的几何意义

导数的概念

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

f（x0＋Δx）－f（x0）Δy＝

为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即ΔxΔxΔyf（x0＋Δx）－f（x0）＝

. ΔxΔxf′(x0)＝

(2)导数的几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

例1

(1)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________．

1(2)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐x标为________．

[解析]

(1)因为

f′(x)＝3ax2＋1，所以f′(1)＝3a＋1. 又f(1)＝a＋2，

所以切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．

因为切线过点(2，7)，所以7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1. 1(2)y′＝ex，曲线y＝ex在点(0，1)处的切线的斜率k1＝e0＝1，设P(m，n)，y＝(x>0)的导x111数为y′＝－2(x>0)，曲线y＝(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－2(m>0)，因为两切线垂直，xxm所以k1

k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1，1)．

[答案]

(1)1

(2)(1，1)

总结方法

(1)求曲线切线方程的步骤

①求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；

②由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0).

(2)求曲线的切线方程需注意两点

①当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，切线方程为x＝x0；

②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．

课时练习. (1)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为(

) A．x＋y－1＝0

B．x－y－1＝0 C．x＋y＋1＝0

D．x－y＋1＝0 1x(2)已知直线y＝－x＋1是函数f(x)＝－·e图象的切线，则实数a＝________．

a解析：(1)因为点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，

所以设切点为(x0，y0)．

1

y0＝x0ln x0，又因为f′(x)＝1＋ln x，所以

y0＋1＝（1＋ln x0）x0，解得x0＝1，y0＝0. 所以切点为(1，0)，所以f′(1)＝1＋ln 1＝1. 所以直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0. 1(2)设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－·ex＝－1，

a0所以ex0＝a，

1又－·ex0＝－x0＋1，所以x0＝2，所以a＝e2. a答案：(1)B

(2)e2

例2抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是________．

[解析]

由于y′＝2x，所以抛物线在x＝1处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 1111画出可行域(如图)．设x＋2y＝z，则y＝－x＋z，可知当直线y＝－x＋z经过点222211，0，B(0，－1)时，z分别取到最大值和最小值，此时最大值zmax＝，最小值zmin＝－2，A221－2，. 故取值范围是21－2，

[答案]

22课时练习．1.已知函数f(x)＝x3－2ax2－3x(a∈R)，若函数f(x)的图象上点P(1，m)处的切线3方程为3x－y＋b＝0，则m的值为(

) 1A．－

31C.

31B．－

21D．

22解析：选A.因为f(x)＝x3－2ax2－3x，

3所以f′(x)＝2x2－4ax－3，

所以在点P(1，m)处的切线斜率k＝f′(1)＝－1－4a. 又点P(1，m)处的切线方程为3x－y＋b＝0，

所以－1－4a＝3，所以a＝－1，

2所以f(x)＝x3＋2x2－3x. 31又点P在函数f(x)的图象上，所以m＝f(1)＝－. 3

2

2．已知直线m：x＋2y－3＝0，函数y＝3x＋cos x的图象与直线l相切于P点，若l⊥m，则P点的坐标可能是(

) π3π－，－

A.223ππC.2，2

π3πB．2，2

3ππ－，－

D．221解析：选B.因为直线m的斜率为－，l⊥m，所以直线l的斜率为2.因为函数y＝3x＋2cos x的图象与直线l相切于点P，设P(a，b)，则b＝3a＋cos a且y′|x＝a＝3－sin a＝2，所以π3ππ3π＋2kπ，＋6kπ(k∈Z)，sin a＝1，解得a＝＋2kπ(k∈Z)，所以b＝＋6kπ(k∈Z)，所以P2222π3π当k＝0时，P2，2，故选B. 3.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________．

11解析：由图可得曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－.又因为g(x)＝33－1xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×3＝0. 答案：0 4.函数f(x)＝ln x＋ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．

解析：函数f(x)＝ln x＋ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，1111＋∞)上有解，而f′(x)＝＋a，即＋a＝2在(0，＋∞)上有解，a＝2－，因为x>0，所以2－xxxx<2，所以a的取值范围是(－∞，2)．

答案：(－∞，2)

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