24.1 圆ppt专用说课稿内容

火红中学集体备课中心发言人教案

中心发言人

日期

备课内容

备课记录

王明奎

年级

九年级

学科

数学

学科组

数学组

2019年5月16日

24.1.2 垂直于弦的直径

复备建议

教材分析：

本节课要研究的是圆的轴对称性与垂径定理及简单应用，垂径定理既是前面圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的位置。

教学目标：

1.知识与技能目标

通过观察试验，理解圆的轴对称性；掌握垂径定理及其推论；会用垂径定理解决有关的证明与计算问题。

2.过程与方法目标

经历探索圆的轴对称性及相关性质、探究垂径定理及其推论的过程，培养学生动手操作能力及观察、分析、逻辑推理和归纳概括能力，并进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。

3.情感态度与价值观目标

通过探究垂径定理的活动，激发学生的好奇心和求知欲，培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质，并从数学学习活动中获得成功的体验。

教学重点：

垂径定理及其应用

教学难点：

探索并证明垂径定理，利用垂径定理解决一些实际问题

教学思路：

思考→探究→发现→证明→结论→练习

教学方法：

引导发现法、直观演示法、启发式学习、合作学习

教具准备：

圆规、多媒体、圆形纸片

教学过程：

24.1.2 垂直于弦的直径

一、新课导入

1.生活导入

【课件1】

赵州桥(如图所示)是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)。

2.复习导入

（1）什么是轴对称图形？

（2）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？

（3）你是用什么方法解决上述问题的？(教师引导折叠课前准备的圆形纸片) （4）直径是圆的对称轴这种说法正确吗？

【课件2】

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。

二、新知构建

1.共同探究1 思路一：在自己课前准备的纸片上作图：

（1）任意作一条弦AA'。

（2）过圆心O作弦AA'的垂线，得直径CD交AA'于点M。

（3）观察图形，你能找到哪些相等线段？

（4）你能证明你的结论吗？写出你的证明过程。

（5）如果沿着CD折叠，你能不能得到相等的弧？

（6）图形中的已知条件、结论分别是什么？你能用语言叙述这个命题吗？

【课件3】

证明：连接OA，OA'，在ΔOAA'中，

∵OA=OA'，

∴ΔOAA'是等腰三角形。

又AA'⊥CD，∴AM=MA'。

即CD是AA'的垂直平分线。这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A'，因此☉O关于直线CD对称。

把圆沿着直径CD折叠时，点A与点A'重合，AM与A'M重合，弧AD，弧AC分别与弧A'D，弧A'C重合。

因此，AM=A'M，弧AD=弧A'D，弧AC=弧A'C。

即直径CD平分弦AA'，并且平分弧AA'，弧ACA'。

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

思路二：动手操作：

（1）把课前准备的圆形纸片(☉O)对折，使圆的两半部分重合；

（2）把得到的折痕记作CD；

（3）在☉O上任取一点A，过点A作折痕CD的垂线，沿垂线折叠，得到新的折痕，两条折痕的交点为M，即垂足为M。

（4）将纸片打开，新的折痕与圆交于另一点A'。(如上图所示) 【思考】

（1）通过上面的操作，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？为什么？

（2）你能不能把刚才的操作当成条件，观察到的结果作为结论，归纳出一个正确的命题？

由折叠可得A与A'重合，弧AD，弧AC分别与弧A'D，弧A'C重合。

∴AM=MA'，弧AD=弧A'D，弧AC=弧A'C。

即直径CD平分弦AA'，并且平分弧AA'，弧ACA'。

归纳结论：

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

2.共同探究2 【思考】

（1）垂径定理的条件和结论分别是什么？

条件：①过圆心；②垂直于弦。

结论：③平分弦；④平分弦所对的劣弧;⑤平分弦所对的优弧。

（2）条件改为：①过圆心；③平分弦。

结论改为：②垂直于弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧。

这个命题正确吗？说明理由。

（3）你能用语言叙述这个结论吗？

【课件4】

推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（4）为什么要求“弦不是直径”？否则会出现什么情况？

3.共同探究3 教材例2讲解：

【共同分析】

（1）如何根据赵州桥的实物图画出几何图形？

（2）结合所画图形思考：

①桥的跨度是弧所对的

，弧的中点到弦的距离是

，它与所在圆的半径之间的关系是

。

②如何找到弧的中点？(根据垂径定理，过圆心作弦的垂线与弧相交。) ③如何把圆的半径转化为三角形中的线段？(连接半径，构造直角三角形。) ④构造的直角三角形中三边之间有什么特点？(一边是弦长的一半，另两边的长的差等于拱高。) ⑤直角三角形中已知一边、另外两边之间的关系，如何求另两边长？(设未知数，用勾股定理列方程求解。) 【课件5】

解：如图所示，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R。

经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相交于点C，连接OA。根据垂径定理，D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高。

由题设可知AB=37 m，CD=7.23 m 所以AD=AB=×37=18.5 OD=OC-CD=R-7.23 222在RtΔOAD中，由勾股定理，得:OA=AD+OD

222即R=18。5+(R-7.23)

解得R≈27.3(m) 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m。

【思考】

（1）在圆中解决有关弦的问题，常作什么辅助线？

（2）在圆中解决有关弦的问题，常用什么方法？

在圆中解决有关弦的问题时，常常过圆心作弦的垂线段作为辅助线，这样可以把垂径定理和勾股定理结合，得到圆的半径r、弦心距d、弦长a的一半之间的222关系式：r=d+（a/2）。

4.知识拓展

（1）由垂径定理可以得到以下结论：

①若直径垂直于弦，则直径平分弦及其所对的两条弧。

②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

③垂直且平分一条弦的直线过圆心。

综上所述，可以知道：在①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对

的劣弧；⑤平分弦所对的优弧这五个条件中满足其中任意两个，就可以推出另外三项。

（2）利用垂径定理及其推论可以证明平分弧、平分弦，证明垂直，证明一条线段是直径。

（3）利用垂径定理的推论可以确定圆心的位置：在圆中找两条不平行的弦，分别作两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心。

（4）由于垂直于弦的直径平分弦，因此可以在圆中构造直角三角形，利用勾股定理列方程求弦长(或半径)。

（5）圆心到弦的距离叫做弦心距。

三、教学习题

例：如图所示，AB是☉O的弦，半径OC⊥AB于点D.

(1)若AB=8 cm，OC=5 cm，求CD的长；

(2)若OC=5 cm，OD=3 cm，求AB的长；

(3)若AB=8 cm，CD=2 cm，求☉O的半径. 解：连接OA，则AO=OC

(1)∵OC⊥AB

∴AD=AB=4 在RtΔOAD中，OD=3 ∴CD=OC-OD=2(cm) (2)在RtΔOAD中，AD=4 ∵OC⊥AB

∴AB=2AD=8 (cm) (3)设☉O的半径为r，则OD=r-2 ∵OC⊥AB

∴AD=AB=4 222在RtΔOAD中，OA=DO+AD

222∴r=(r-2)+4，解得r=5 ∴☉O的半径为5 cm.

四、课堂练习

课本：P83练习：第1、2题

五、课堂小结

1.圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴；

2.垂径定理、推论及其应用；

3.垂径定理和勾股定理相结合，可将圆的问题转化为直角三角形问题；

4.圆中常作的辅助线:连半径、过圆心作弦的垂线。

六、布置作业

优佳学案：P77-78 七、板书设计

24.1.2

垂直于弦的直径

一、共同探究1 ❉垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

二、共同探究2 ❉垂径定理推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

三、共同探究3 例：