小结与思考教学目标

2018.11.29无锡市第一女子中学对外公开课（初三6班

执教人：秦唯超）教案

有

径

可

循

——“化动为静”探求点的轨迹

一、教学目标：

1、探寻“求质点运动的路径长”这类问题的关键；

2、探索质点运动路径的几类基本形式；

3、归纳质点运动路径的常见方法.

二、知识要点：

在几何中，把具有某种性质的

运动的点组成的集合

叫做具有这种性质的点的轨迹. 因点运动而生成的轨迹基本形式：

1.

到线段两端距离相等

的点的轨迹是线段的垂直平分线. 2.

在角的内部，到角的两边距离相等

的点的轨迹是角的平分线. 3.

到定点的距离等于定长

的点的轨迹是

以定点为圆心、以定长为半径

的圆. 4.

已知线段所对角等于直角的点的轨迹，是

以已知线段为直径的圆

. 5.

和一条已知直线的距离等于定长的点的轨迹，是

平行于已知直线且位于直线两侧并和这条直线的距离等于定长的两条平行线

.

三、应用探究：

（一）我们知道，到线段AB两端距离相等的点C，都在线段AB的垂直平分线上，所以，

因点运动而生成的轨迹基本形式：

1.

到线段两端距离相等

的点的轨迹是线段的垂直平分线.

我们还知道，在∠AOB的内部，到OA、OB两边距离相等的点，都在∠AOB的角平分线上. 因点运动而生成的轨迹基本形式：

2.

在角的内部，到角的两边距离相等

的点的轨迹是角的平分线.

（二）今天，我们继续探究点的轨迹

探究1、如图，长2cm的木棒AB斜靠在墙壁上（∠MON=90°），在木棒向下滑动的过程中，木棒中点P经过的路径是什么？

解析：连接OP，

∵∠AOB=90°，点P为AB的中点

∴OP1AB=1cm，

2

∴点P经过的路径是以点O为圆心，以1cm为半径的一段圆

又∵当点B与点O重合时，点P在线段OM上；

当点A与点O重合时，点P在线段ON上，

∴点P经过的路径是以点O为圆心，以1cm为半径的1圆

4小结：因点运动而生成的轨迹基本形式3：

到定点的距离等于定长

的点的轨迹是

以定点为圆心、以定长为半径

的圆.

变式、在探究1的条件下，以AB为长作矩形ABCD，其中AB=2，BC=1，在运动过程中，1

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执教人：秦唯超）教案

点D到点O的最大距离为

12

.

解析：连接OP、PD、OD，

当O、P、D三点共线时，

点D到点O的最大距离=OP+PD=12

探究2、如图，已知正方形ABCD边长为2cm，点E是BC边上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连接CG.则点G运动的路径长为多少？CG的最小值为多少？

解析：∵BF⊥AE于点G，

∴∠AGB=90°，

又∵线段AB=2cm，

∴点G的运动轨迹是以AB为直径的圆的一部分

又∵点E与点B重合时，点G与点B重合；

点E与点C重合时，点G为AC、BD的交点，

∴点G的运动轨迹是以AB为直径的∴点G运动的路径长为1圆

4121cm，

42当O、G、C三点共线时，CG最小=51

小结：因点运动而生成的轨迹基本形式4：

已知线段所对角等于直角的点的轨迹，是

以已知线段为直径的圆

.

变式、如图，平面直角坐标系中，一个顶点在原点的正方形OABC边长为2，直线y=x+4分别与x轴、y轴相交于点M、N，直线AN与MC相交于点P.若正方形绕着点O旋转一周，则点P到点（0，2）距离的最小值为多少？

解析：作AD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，

由AAS得△OAD≌△OCE，

∴AD=CE，OD=OE，

由SAS得△NAD≌△MCE，

∴∠AND=∠CME E ∴∠NPM=∠NOM=90°，

D 又∵线段MN=4cm，

∴点P的运动轨迹是以MN为直径的圆的一部分

当线段MN的中点O’（-2，2）、（0，2），点P三点共线时，点P到点（0，2）距离的最小，值为222

探究3、如图，已知AB=8，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE.若点M，N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分2

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别是边CD、EF的中点.请写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径长及OM+OB的最小值. 解析：（1）以点A为坐标原点，建立平面直角坐标FEH系，

O设A（0，0），P（x，0），

GCD则M（1，0），N（7，0），B（8，0），

C（0，x），D（x，x），E（x，8－x），F（8，8NB－x），

AMPG（xx，x），H（4，8－x），

22∴O（x4，4）

2∴点O到线段AB的距离等于定长4，

即点O的运动轨迹是平行于直线AB到AB的距离等于4的一条线段.

又∵点P从点M运动到点N，

∴1≤x≤7，

∴O1O274143

22

即GH的中点O所经过的路径长为3.

（2）作点M关于直线O1O2的对称点M’，连接BM’，

∴OM+OB的最小值=BM’=MB2M'M272824964113

小结：因点运动而生成的轨迹基本形式5：

和一条已知直线的距离等于定长的点的轨迹，是

平行于已知直线且位于直线两侧并和这条直线的距离等于定长的两条平行线

.

四、回顾反思：

确定点的轨迹的常见方法有：

（1）画图定路径；（2）特征定路径；（3）坐标定路径. 定线段和动点组成的三角形中，如果以动点为顶点的角度是定值，那么这个动点的运动轨迹是一个圆（或一段圆弧）。

“化动为静”探究点的轨迹，让我们有径可循.

五、板书设计

有

径

可

循

——“化动为静”探求点的轨迹

3

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六、教学反思：

点动成线、线动成面、面动成体，点是构成图形运动的最基本要素.学生在初二数学《轴对称图形》这一章的学习中已经详细探究过两种具有特殊性质的点的轨迹：1、当动点满足到两定点距离相等，则确定动点的轨迹是以两定点为端点的定线段的垂直平分线；2、当动点满足在角的内部，并且到角的两边距离相等时，则确定动点的轨迹是已知角的角平分线.初三数学《中心对称图形（二）》中对圆进行了探究，所以，本节课面向初三学生重点探究动点轨迹为圆弧的三种一般类型：1、当动点满足到定点的距离等于定长，则确定动点的运动轨迹为以定点为圆心，定长为半径的圆（或一段弧）；2、当动点满足与定线段构成一个直角三角形，且为直角顶点，则这个动点的轨迹是以定线段为直径的圆（或圆弧）；3、由特殊到一般，如果动点与定线段构成的三角形中，以动点为顶点的角度确定，这个动点的运动轨迹是以定线段为弦的圆（或圆弧）.由此可见，定线段和动点组成的三角形中，如果以动点为顶点的角度是定值，那么这个动点的运动轨迹是一个圆（或一段圆弧）。并且对点的轨迹进行进一步的拓展，探究了因点运动而生成的轨迹基本形式5：和一条已知直线的距离等于定长的点的轨迹，是平行于已知直线且位于直线两侧并和这条直线的距离等于定长的两条平行线. “求质点运动的路径长”是动态几何呈现的新的考查方向，求解这类问题的关键是运用动态思维，善于从特殊情形、极端情形切入，化动为静，把握运动中的不变量，比照运动状态，细心体会，寻找轨迹. 李白用“遥看瀑布挂前川”化动为静，贾岛用“僧敲月下门”以动衬静，而解决数学的动点问题，关键是抓住在变化的位置中体现不变的规律，把“动”转化为“静”，动中求定，以定制动．

运动型问题是初中数学中的难点，更是今年来中考数学的热点，对发展学生数学思维品质，培养学生数学核心素养有着十分重要的价值和意义。数学的课堂也许不如某些课堂这么气氛活跃、活动丰富多彩，但是数学的课堂是思维体操最适宜伸展的所在，是头脑风暴席卷的阵地，是时代弄潮儿最放在心尖上的地方。让点动起来，让我们的头脑高速运转起来，透过现象看品质，一起探索和揭示数学的奥秘！

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