反证法教学实录

24.2.1反证法

【教学目标】

1.使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法. 2.培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力. 【教学重点】：反证法证题的步骤. 【教学难点】理解反证法的推理依据及方法. 【教学方法】讲练结合教学. 【教学过程】

一、情境导入

故事引入“反证法”：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的?他运用了怎样的推理方法? 我们不得不佩服王戎，小小年纪就具备了反证法的思维．反证法是数学中常用的一种方法．人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时，常常采用从反面考虑的策略，往往能达到柳暗花明又一村的境界．

那么什么叫反证法呢？（板书课题）

二、探究新知

反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。

例如：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？

解析：由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知

a2 +b2

＝c2 二、探究

问题：

若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a，

AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2

+b2

≠ c2

成立吗？请说明理由。

探究：

假设a2 +b2

＝c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾。假设不成立，从而说明原结论a2 +b2 ≠ c2 成立。

这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法叫做反证法。

三、应用新知

例１：在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠

∠ C 证明：假设，∠B ＝

∠C，则AB＝AC这与已知AB≠AC矛盾．假设不成立．∴∠B ≠

∠

C 小结：反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确

四、同步练习

1、求证：同一平面内两条直线相交只有一个交点

2、已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c,b//c. 求证：a//b 小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾

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例题学习：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。

已知：△ABC , 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°

证明：

假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°

则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°

即∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立．

∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°

同步练习：

求证：在同一平面内，如果一条直线和两条平行线中的一条相交，那么和另一条也相交。

五、课时小结

本节重点研究了反证法证题的一般步骤及反证法证明命题的应用。对于反证法的熟练掌握还需在今后随着学习的深入，逐步加强和提高。

六、当堂达标：

1、试说出下列命题的反面：

（1）a是实数。

（2)a大于2。

（3）至少有2个。 （4）最多有一个。

（）两条直线平行。 2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是

。 3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步

。

七、板书设计 §29.2 反证法

1.反证法证明命题的步骤。

2.反证法应用：例题。

小结：

八、教学反思：

在用反证法证明的命题中

经常会出现文字命题。如证明命题“梯形的对角线不能互相平分”时切记一定要先用数学语言写出“已知”和“求证”即已知：梯形ABCD中，AC，BD是对角线；求证：AC，BD不能互相平分。然后再按一般步骤证明。

反证法不仅能提高学生的演绎推理能力，而且在后继的学习中有着不可忽视的作用，虽然在初中教材中所占篇幅很少，但本人认为不应轻视，应让学生掌握其精髓，合理的去运用。

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