（四）综合与实践（通用）优秀教案案例

在多维探究中生成，在深度思考中建构

——《探究数与形的秘密》

【教学内容】:苏教版数学六年级下册总复习

【教学目标】: 1.让学生利用图形解决一些有关数的问题。

2.让学生经历操作、观察等活动,感受数与形之间的联系。

3.在解决数学问题的过程中体会和掌握数形结合的数学思想，培养学生用数形结合的思想解决问题的能力。

【教学重点】:利用图形解决一些有关数的问题。

【教学难点】:培养学生用数形结合的思想解决问题。

【教学准备】:课件、不同颜色的小正方形教具。

【教学过程】: 一、创设情境，引出新知

1.在黑板上贴出一个用1个红色、3个黄色、5个蓝色和7个白色的小正方形拼成的心形图案。

师:在黑板上你看到了什么? 生:我看到一个心形。

师:这节课咱们就让这颗心为我们开启一段数学之旅吧!

2.同学们再用数学的眼光看一看，你还看到了什么? 生:我看到了有1个红色的小正方形3个黄色的小正方形.5个蓝色的小正方形和7个白色的小正方形。(师板书: 1、3、5、7)

师:一共用了多少个小正方形? 你是怎样知道的？（1+3+5+7=16个）

【设计意图】：用生活中的一颗心形引入新课，既调动了学生的求知欲，使学生感受到数学带给我们的美，又为教学新知“连续奇数相加”做好铺垫；还可为后面探索“连续偶数相加”埋下伏笔，培养学生思维的延展性。

3.如果让“心”变形，重新拼摆，怎样能让我们一眼就看出是用了16个小正方形呢？想一想，请同学们利用手中的小正方形学具，小组动手摆一摆、试一试。

请大家展示一下各自摆出的造型。

展示作品1：

4.师:这种摆法我很喜欢,算式里的1对应着图形中最上面红色的,3对应着黄色的....可是算式里的16好像不能从图中让我们一眼看出，还得加一加才能知道结果。

展示作品2：

师：请你们一人指着算式、一人指着图形说一说想法。

5.老师很喜欢你们摆的这个图形，让我一眼就看出了16，但是我的加数被拆的七零八散的，还有没有其他组的摆法，让大家一眼就能看出算式里的每一个加数，又让我一眼能看到用了16个小正方形呢？

展示作品3：

师：这个图形怎样？说说你的想法：因为这种摆法把红色的小正方形一层一层包围了起来，让我们一眼就看出来每个加数和总个数。一层就是一个加数。4×4就是16个，特别有规律。这种摆法把算式和图形完美的结合了！

6.同学们，你们这种摆法把算式和图形完美的结合了！我国著名的数学家华罗庚说过：“数无形时少直觉，形无数时难入微”。这句话完美的阐述了数形之间的关系。

7.你们这样一拼摆让我想起了一个伟大的学者毕达哥拉斯。他们这个学派，把4×4=16的这个16称之为正方形数。那么16还可以这样表示:4×4,即42。

【设计意图】：围绕核心问题“怎样摆能让我们一眼看出用了16个正方形”，让学生利用学具动手操作，经历从最初的按颜色摆到最后的一层一层摆，我们看到了学生思维的层层递进，学习能力的步步提升,巧妙地渗透了数形结合思想。

二、深入探究，发现规律

1.毕达哥拉斯学派称万物皆数，你心目当中还会出现什么正方形数? 2.正方形数多不多? 接下来，就按刚才我们摆出的这种形，选一个自已喜人的正方形数进行研究，看看它会与哪些加数有联系？同桌两人合作，完成作业单上的活动一。

正方形数

16

图形

算式

1+3+5+7=42=16 3.同学们，刚才老师欣喜的发现，你们的研究有数、有形还有式，哪组愿意把自己的研究展示给大家？

生展示，师板书。

1+3=22=4 1+3+5=32=9 1+3+5+7=42=16 1+3+5+7+9=52=25

……

4.观察黑板上的几道算式，你有什么发现？你能探索出这些算式有什么规律呢？

小结：算式里的数都是连续的奇数；几个奇数结果就是几的平方。

5.同学们发现了规律，非常棒！那么这个规律是适合所有这样的算式吗？有没有反例？我们需要验证规律。

6.通过验证，板书：连续奇数相加的和等于加数个数的平方。

7.接下来我们来应用这个规律。

快速反应：1+3+5+7+9+11 1+3+5+7+9+11+13 3+5+7 集中评议 3+5+7，为什么不是等于32？那么我们刚才得到的规律是错的吗？

小结：这个规律前要加一句“从1开始”。对的，我们数学上的规律用语言表述时一定要严谨。

【设计意图】：让学生充分动手实践，进一步感受如何将数和形结合，体会数和形之间的紧密联系，感受“以数助形、以形解数”，使学生通过数与形的对照，得出关于数的规律。

8.小结：回忆一下我们刚才学习的过程，首先是发现规律，然后探究规律、验证规律，最后总结规律。接下来我们就利用这个规律来解决一些问题。

9.巩固练习：

（1）下面的算式能用72表示的是（ ）。

A. 1+2+3+4+5+6+7 B. 3+5+7+9+11+13+15 C. 1+3+5+7+9+11+13 （2） =92 介入：我发现同学在做第2题时都在扳手指头，你们在数什么？（数加数的个数）

提问：如果让你用规律做这题呢？1+3+5+7+……+99=

怎么办？你们的手指头不够了，是不是该用脚趾头了？

那么怎么又快又准的找到加数的个数呢？（1到100共有100个数，一半是奇数一半是偶数，所以是50个加数。）

10.看来当数与形完美的结合在一起时，我们就的处理这样的一个规律，而这个规律就能帮助我们解决很多复杂的问题。

出示：1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1= 这道题还能适用我们发现的规律吗？

（将此算式分成两部分: 1+3+5+7+9+11+13和11+9+7+5+3+1。前面那部分是72,后面那部分是62, 72+62=85。）

师:太棒了，刚学的规律同学们就能活学活用了，老师真为你们感到高兴。

【设计意图】通过三个练习让学生进一步体会数形结合的特点,感受用形来解决数的有关问题的直观性与简捷性。在练习中让学生充分动脑、动口、动手，运用数形结合思想在交流中发现特点、解决问题。

三、启智明思，拓宽思维

1.师:今天我们要感谢这个小小的正方形,是这些小小的正方形让我们将数与形完美的结合在一起。当我们横着观察时，得到的是这样的算式: 4×4=42

当我们一层一层观察时得到了这样的算式:1+3+5+7=42。还是这个正方形，你还可以怎么观察?

4×4=42 1+3+5+7=42

2.还可以斜着观察

1+2+3+4+3+2+1=42

斜着观察时，我们发现了与前面完全不同的算式，这种算式与图形之间存在着怎样的联系呢？相信你一定会有新的发现。

3.完成活动二的内容。

利用画“斜线”的方法找图形与算式的规律

4.小组汇报：1+2+1=22

1+2+3+2+1=32

1+2+3+4+3+2+1=42

1+2+3+4+5+4+3+2+1=52

5.沟联比较：这个算式中最大的数是几，就是几的平方。

6.验证规律。

7.如果将其中的一个算式前半部分提取出来，你又会想到什么样的图形？（三角形）出示：1+2+3+4=10 【设计意图】引导学生利用数形结合思想继续探究，做到一图多用，巧妙地引导学生发散思维，再次感受数形结合思想。

四、数史介绍，思想熏陶

1. 你们和毕达哥拉斯学派的想法是一致的。他们把10称之为三角形数。除

1+2+3+4+3+2+1=42

了三角形数,还有正五边形数、正六边形数....就是在那个没有纸的年代里，毕达哥拉斯学派的学者们利用手里的小石子，在沙滩上摆啊、拼啊，去看数和形有着怎样千丝万缕的联系。

2.课件出示：

3.

就是这个毕达哥拉斯学派，发现了一个伟大的定理一毕达哥拉斯定理。毕达哥拉斯定理是这样说的:在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a2+b2=c2。

4. a2让你想起了什么?(正方形的面积) (课件演示毕达哥拉斯定理)对，a2就是以三角形的直角边a为正方形的边长画出的一个正方形的面积。b2呢? c2呢?

5.这个定理就是数与形完美结合的典范。就是这个的伟大的定理，让我们得到了一棵毕达哥拉斯树，数学可以让我们的生活这么的美好，再来看看这棵树的根基，你发现了什么？

课件出示：

这棵树的根基都是毕达哥拉斯定理，而且不止是树根有，连接每一个树枝和树梢的都是毕达哥拉斯定理。

6.其实在我们小学六年的学习中，有多少次数与形都在完美的结合着，我们一起来回忆一下（两位数加一位数的计算时旁边的小棒凑十法、植树问题、行程问题……）

【设计意图】在课堂上适时渗透数学文化，使学生受到数学文化的熏陶，感受数学文化独特的魅力，是数学超越其知识本身所带给学生的别样精彩。

五、拓展延伸,全课总结

1.我们用一颗心开启了一段快乐的数学之旅,还是这颗心，如果每种颜色的小正方形各增加1个,算式成为2+4+6+8这样的连续偶数相加,又会有什么规律呢? 2.同学们，在我们的学习中，有多少次数在帮我们解释着形的涵义，又有多

少次形在直观的表达着数的内容。就让我们在数与形的完美结合中继续我们的数学之旅吧!