1.2.1 充要条件教学设计与反思

充要条件教学设计

教学目标：使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运用．在师生、学生间的交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础．

教学重点：充分不必要条件、必要不充分条件的概念；

教学难点：判断命题的充分不必要条件、必要不充分条件；

●知识梳理

（1）定义法：

①

p是q的充分不必要条件pq

qppq②

p是q的必要不充分条件

pq③

p是q的充要条件pq

qppq

pq

④

p是q的既不充分也不必要条件（2）集合法：

设P={p}, Q={q}, ①

若__ PQ, 则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件. ②

若___ P=Q _______，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）. ③

若______ P Q且Q P _______，

则p是q的既不充分也不必要条件. ●交流与展示

第一组题：

（1）"a,bR"是"ab0"的（充分不必要）条件。

1

（2）“四边形为平行四边形”是“这个四边形为菱形”的（必要不充分）条件。

（3）“设集合A=x|x3，B=x|x4”，则“xA”或“xB”是"xAB"

的（必要不充分）条件。

（4）"ab0"是"a0"的（必要不充分）条件。] b

第二组题： （1）写出x2的一个必要不充分条件（可答x22）。

（2）写出ab>0的一个充分不必要条件(可答a0且b0)。

（3）二次函数yax2bxc当字母a,c满足(可答a0且c0)条件，是函数图象与x轴有交点的充分不必要条件。

●精讲点拨

例1(补)如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆B. 请回答：

⑴命题：若“A为绿色”，则“B为绿色”中，“A为绿色”是“B为绿色”的什么条件；“B为绿色”又是“A为绿色”的什么条件. ⑵命题：若“红点在B内”，则“红点一定在A内”中，“红点在B内”是“红点在A内”的什么条件；“红点在A内”又是“红点在B内”的什么条件. 解法1(直接判断)：⑴∵“A为绿色B为绿色”是真的，∴由定义知，“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件. ⑵如图2⑴，∵“红点在B内红点在A内”是真的，∴由定义知，“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必

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要条件.

小结 如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？下面我们以例2为例来说明. 先说充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的.例如，说“A为绿色”是“B为绿色”的一个充分条件，就是说“A为绿色”，它足以保证“B为绿色”.它符合上述的“若p则q”为真（即pq）的形式. 再说必要性：必要就是必须，必不可少.从例2的图可以看出，如果“B为绿色”，A可能为绿色，A也可能不为绿色.但如果“B不为绿色”，那么“A不可能为绿色”.因此，必要条件简单说就是：有它不一定，没它可不行.它满足上述的“若非q则非p”为真（即┐q┐p）的形式.

例2已知p：1x12，q：(x1m)(x1m)0(m0)

3 且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围。

解：由1x1x112 2  233 2x10 即p为：[2,10] 而q为：[1m,1m]， 又q是p的必要不充分条件，

即pq

所以 1m2  m9

1m10即实数m的取值范围为[9,)。

3

例3函数f(x)lg21的定义域为集合A，函数gx1xa的定义域x1为集合B． （1）判定函数fx的奇偶性，并说明理由．

（2）问：a2是AB的什么条件（充分非必要条件

、必要非充分条件、充要条件、既非充分也非必要条件）？

并证明你的结论．

15. 解：A={x|2x110} 2x110x1x10(x1)(x1)0 ∴ -1

f（-x）=lg1x1xx1= lg(x1)1= lg1xx1，

∴f（x）是奇函数. （2）B={x|1|xa|0}|xa|11x

a11ax1a

B=[-1-a，1-a] 当a 2时， -1-a-3， 1-a-1，

由A=（-1，1）， B=[-1-a，1-a]， 有AB

反之，若AB，可取-a-1=2，则a=-3，a小于2. （注：反例不唯一）

所以，a 2是AB的充分非必要条件。

●学生总结

1、简化定义：

如果已知AB，则说A是B的充分条件，B是A的必要条件。2、判别步骤：

（1）找出A和B．

（2）考察AB和BA的真假。

4

（3）根据定义下结论。

3、判别技巧：

（1）可先简化命题。

（2）否定一个命题只要举出一个反例即可。

●巩固案

1．用“充分”或“必要”填空，并说明理由：

①“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的 条件；

②“x＞5”是“x＞3”的 条件；

③“x3”是“|x|3”的 条件；

④““个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的 条件；

⑤“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的 条件；

⑥对于一元二次方程ax+bx+c=0（其中a,b,c都不为0）来说，“b-4ac0”是“这个22方程有两个正根”的 条件；

2．设命题甲为0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的（ ）条件

3．已知真命题“a≥b条件．

4．c＞d”和“a＜be≤f”，则“c≤d”是“e≤f”的________42是的什么条件?并说明理由. 422225．已知p∶x-8x-20＞0，q∶x-2x+1-a＞0。若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围. 6．xy，xy0是11的充分条件，还是必要条件？充要条件？

xy5

八、参考答案：

1．①充分 ②充分 ③充分 ④充分 ⑤必要 ⑥必要 2．A 3．充分

4．解：24

但反之却不一定成立。例如取α=1,β=5,显然满足244

4但不满足242所以是的必要但不充分条件. 2425．解：p∶A=｛x｜x＜-2，或x＞10｝，q∶B=｛x｜x＜1-a，或x＞1+a，a＞0}

如图，依题意，pq，但q不能推出p，说明AB，则有

a0,1a2, 解得0＜a≤3. 1a10.6．

充分不必要条件

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