1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教学设计及课堂实录

课题：空间几何体的表面积与体积

——人教版数学必修②第一章1.3 地点：汕头一中新校区B205

执教者：汤

威

授课班级：高二（17）班

一、内容与内容解析

内容：柱体、锥体、台体的表面积与体积, 是“空间几何体的表面积与体积”的一部分. 内容解析：本课内容有些是学生熟悉的, 比如正方体、长方体、圆柱、圆锥的表面积和体积. 本课要解决一般棱柱、棱锥、棱台和圆台的表面积、体积问题.从思想方法看, 主要涉及化归与转化、类比等思想方法——将立体图形的度量化归为平面图形的度量, 通过类比获得解决新问题的思路. 另外, 用运动变化的观点看待问题, 建立柱、锥、台之间的内在联系, 也是本课涉及的思想方法. 二、目标与目标解析

1.了解棱柱、棱锥、台体的表面积和体积计算公式(能解决练习中的问题). 2.通过空间问题转化为平面问题、考察几类几何体之间的关系等活动, 体会化归与转化思想, 培养联系的观点. 三、教学重点与难点

教学重点：在解决棱柱、棱锥、台体的表面积和体积问题过程中, 体会化归与转化、类比等思想方法, 学习用联系观点看问题. 教学难点：联系和运动变化观点的渗透, 台体的表面积与体积问题. 四、教学问题诊断分析

本课的一些公式学生已经熟悉, 但理性认识不够. 通过教学, 不仅要让学生在知识的系统性方面得到提升, 更重要的是要培养学生用联系和运动变化的观点看问题的方法. 这些观点, 学生是难以独立想到的. 另外, 在解决台体的问题时, 要用相似三角形的有关知识, 由于学生初中平面几何基础较弱,可能出现困难. 五、教学支持条件分析

本课涉及到的内容比较多, 而且其中很多都是再现性的, 因此必须借助适当的信息技术手段提前将需要再现的图形准备好, 提高课堂教学的效率. 六、教学过程设计

（一）新课引入，温故知新

引入：我们通过学习空间几何体的结构特征、三视图和直观图, 了解了空间几何体与平面图形之间的关系. 从中反映出一个思想方法, 即空间问题转化为平面问题, 这种化归与转化的思想方法将贯穿于立体几何的研究过程, 是一种重要的思想方法, 在今后的学***家应该重视这一思想方法的应用. 设计意图：挖掘旧知识中蕴含的数学思想方法, 使得隐性知识显性化, 在本课的学习中发挥先行组织者的作用. 本课研究柱体、锥体、台体的表面积与体积. 空间几何体的表面积是几何体表面的面积, 即几何体各个面的面积之和.空间几何体的体积是几何体所占空间的大小. 问题1：(1)试着完成表1、表2（见附件）中你会的部分. (2)比较表1和表2中空间几何体的侧面积与表面积(你完成的部分), 是否蕴含着上述化归思想, 并请具体给出阐释. 设计意图：通过完成(1)达到帮助学生复习、扫清学习障碍, 同时了解学生基础的目的. 通过完成(2)进一步明确化归与转化的思想方法, 为后继解决问题提供思路. 活动方式: 学生独立完成, 教师了解学生完成的情况, 并演示几何体展开的过程. 预设: 学生可以完成表2中正方体、长方体的表面积和体积, 圆柱、圆锥的侧面积和表—1—

面积及体积. （二）合情推理，获取新知

问题2：

(1) 类比上述求法, 利用化归的数学思想方法, 完成练习1和练习2. 练习1.如图5, 已知棱长为a, 各面均为等边三角形的三棱锥SABC, 求它的表面积.

练习2.如图6, 四棱台的上、下底面均是正方形,边长分别是8cm 和14cm, 侧棱长都是5cm, 求它的侧面积. (2) 思考：如何求出任意一个棱柱、棱锥、棱台的表面积？它与哪些平面图形有关系?之后在表2中写出求这几类空间几何体的表面积的思路. 设计意图：巩固已有方法. 具体问题是学生思维的开始, 具体问题可以缩短学生进入解题状态的时间, 同时通过具体问题的解决使学生有切实的感受, 提供了推广的基础. 活动方式：学生独立完成, 展示、交流、点评. 预设：先完成练习1和2, 之后抽象得出一般解法. 问题3：能否类比上述方法, 求圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积？

重点研究圆台侧面积和表面积，数据如图7所示.

设计意图：巩固已有方法, 解决新问题. 活动方式：教师演示侧面展开过程, 学生展开讨论, 形成正确的解题步骤. 问题4：将正方体、长方体的体积公式分别改写为：V正方体=a3a2aS底h，其中ha；V长方体=abcabcS底h，其中hc.据此猜想棱柱的体积公式是什么？

设计意图：据已有知识经验获得一般的结论, 培养学生合情推理的意识和习惯. 预设：V棱柱=S底h，其中h表示棱柱的高. 问题5：类比圆锥体积与圆柱体积的关系, 猜想棱锥的体积公式是什么? 设计意图：根据已有知识经验获得一般的结论,培养学生合情推理（这里用到类比推理）的意识和习惯. 1预设：V棱锥=S底h，其中h表示棱锥的高. 3问题6：我们知道等底等高的三角形面积相等, 类比这个结论, 针对三棱锥你能得到什么猜想？

设计意图：培养学生根据空间图形与平面图形的关系, 将平面几何中的结论在空间进行推广的意识和能力, 为完成下面的任务做准备. 活动方式：学生独立思考, 完成猜想, 必要时教师予以帮助. —2—

预设：如果两个三棱锥的底面积相等, 高也相等, 那么这两个三棱锥的体积相等. 11问题7：你能否说明猜想“V棱锥V棱柱S底h，其中h表示棱锥的高”的正确性？

33设计意图：虽然此处还不能进行理论的论证, 但是在猜想的基础上可以引导学生进行说理, 培养学生的理性思维习惯. 预设的活动方式：展示操作, 由教师利用动画和图8进行解释. B`C'A`A'B`A`A'B`A'C'12BACBBAC3C

图8 问题8：类比圆台（棱台）侧面积的求法, 你能解决求圆台（棱台）体积的问题吗？如图9, 设圆台的上、下底面的面积分别为S'和S, 高为h, 试求其体积. 设计意图：从方法层面进行类比，同时适度渗透演绎推理，培养学生正确的思维方法. 预设：转化为棱锥、圆锥的体积差问题求解. 预备的解决过程：(以圆台为例)如图9, 设O''O'x, 上、下底面的半径分别为r'和r,圆台的上、下底面的面积分别为S'和S. S'xr'xhrS'xSShS'

SS'

11V圆台S(hx)S'x331(SSS'S')h（台体的体积公式）

3机动练习3：四棱台的上下底面均是正方形, 边长分别为3cm 和5cm, 高是6cm, 求此棱台的体积. 机动练习4：看图填下表.

设计意图：检验教学效果.

问题9：结合圆柱、圆锥及圆台的结构特征, 再观察他们的表面积公式、体积公式, 你能发现什么关系? 设计意图：从运动变化的观点分析三者之间的关系. —3—

预设：

圆柱、圆锥、圆台的表面积：

（三）课堂小结，激发探究

问题10：

(1) 通过本节课的学习你有什么收获, 请从数学知识、思想方法、解决问题的经验等方面谈谈. (2) 在本节课的学习过程中你有哪些疑问或者质疑？

设计意图：问题(1) 引导学生对本课的学习进行归纳总结；问题(2) 引导学生对合情推理过程进行质疑, 培养学生思维的严谨性, 同时激发学生进一步探究的好奇心, 为第二章的学习埋下伏笔. 活动方式：学生独立思考, 讨论交流, 教师总结. 预设：若学生没有其他质疑,则教师提出问题：(1) 为什么计算圆台的表面积、体积时可以用平行线分线段成比利定理?学生说根据定义, 圆台的两个底面平行. 教师进一步追问：两底面平行就能推出两直线平行吗? 并举出反例进一步激起学生的疑问. (2) 作三棱锥的高是从一点向平面做垂线, 你怎么确定这个线是垂直于平面的? 这些问题都需要到下一章才能解决.(3)为什么由圆柱、圆锥、圆台的体积公式可以得到棱柱、棱锥、棱台的体积公式，从而统一成了柱体、锥体、台体的体积公式？引导学生阅读P30《探究与发现》. （四）作业布置，巩固成果

作业：

P27练习, P28习题1. 3A组1, 2, 3. 设计意图：初步运用公式解决问题.将作业作为课堂教学的延伸、联结和必要补充, 而不单是模仿训练.

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附件：

表1：部分平面图形的面积

表2：部分空间几何体的表面积与体积

名称

面积公式

名称

侧面积公式

表面积公式

体积公式

正三角形

正方体

aaa

a

b三角形

ha长方体

c

a

正方形

a1.棱柱

b矩形

三棱锥

平行四边形

haa

2.棱锥

三棱台

梯形

bha

3.棱台

圆

r

扇形

rlα

4.圆柱

hr

5.圆锥

hr

6.圆台

r`hr

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练习1.如图5, 已知棱长为a, 各面均为等边三角形的三棱锥SABC, 求它的表面积.

练习2.如图6, 四棱台的上下底面均是正方形,边长分别是8cm 和14cm, 侧棱长都是5cm, 求它的侧面积.

11问题7：你能否说明猜想“V棱锥V棱柱S底h，其中h表示棱锥的高”的正确性？

33B`C'A`A'B`A`A'B`A'C'12BACBBAC3C

图8 问题8：类比圆台（棱台）侧面积的求法, 你能解决求圆台（棱台）体积的问题吗？如图9, 设圆台的上下底面的面积分别为S'和S, 高为h, 试求其体积.

机动练习3：四棱台的上、下底面均是正方形, 边长分别为3cm 和5cm, 高是6cm, 求此棱台的体积. 机动练习4：看图填下表.

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