习题4.2优秀公开课教案

圆和圆的方程专题

开心一刻

夜里，一个蒙面歹徒拿着刀闯进了迈克的家，他对迈克叫：“把你所有的钱都交出来，不然我就杀了你！”

迈克看着歹徒无奈的说：“对不起，我已经失业半年了，没有钱给你。”

歹徒听了大怒：“你这个懒鬼，我上个月才失业，这个月就已经出来抢劫了！”

一、知识点回顾

1、圆的方程

（1）圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

（2）圆的方程

①标准方程xaybr2，圆心22a,b，半径为r；

22②一般方程x2y2DxEyF0

DE，半径为当DE4F0时，方程表示圆，此时圆心为,22r1D2E24F

22222当DE4F0时，表示一个点； 当DE4F0时，方程不表示任何图形。

③求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，

需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

2、直线与园的位置关系

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：

Ⅰ、设直线l:AxByC0，圆C:xa2yb2r2，圆心Ca,b到l的距

离为dAaBbC，则有drl与C相离；drl与C相切；drl与C相交

A2B2Ⅱ、设直线l:AxByC0，圆C:xaybr2，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有

0l与C相离；0l与C相切；0l与C相交

2注：如果圆心的位置在原点，可使用公式xx0yy0r去解直线与圆相切的问题，其中x0,y0表示切点坐标，r表示半径。

Ⅲ、过圆上一点的切线方程：

22①圆x2+y2=r，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为xx0yy0r(课本命题)。 222②圆(x-a)+(y-b)=r，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广)。

3、圆与圆的位置关系

通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

2设圆C1:xa1yb12r2，C2:xa22yb22R2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

22

1

当dRr时两圆外离，此时有公切线四条

当dRr时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条

当RrdRr时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线

当dRr时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线

当dRr时，两圆内含； 当d0时，为同心圆

二、专题讲解

题型一

求圆的方程

【例1】根据下列条件求圆的方程：

(1)经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上；

(2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；

(3)过三点A(1，12)，B(7，10)，C(－9，2)．

【方法归纳】求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：①几何法，通过研究圆的性质而求出圆的基本量；②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．

【变式训练】已知一圆过P(4，－2)、Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程．

题型二

与圆有关的轨迹问题

【例2】点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是(

) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1

B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4

D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 【方法归纳】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：

①直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；

②定义法，根据圆、直线等定义列方程；

③几何法，利用圆与圆的几何性质列方程；

④代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．

2

此外还有交轨法、参数法等．无论哪种方法，充分利用圆与圆的几何性质，找出动点与定点之间的关系是解题的关键．

【变式训练】设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程．

题型三

直线与圆的位置关系的判断

【例3】已知圆x2＋y2－6mx－2(m－1)y＋10m2－2m－24＝0(m∈R)．

(1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；

(2)与l平行的直线中，哪些与圆分别相交、相切、相离？

【方法归纳】直线与圆的位置关系有相离(没有公共点)、相切(只有一个公共点)、相交(有两个公共点)三种，判断直线与圆的位置关系主要有两种方法：一是圆心到直线的距离与圆的半径比较大小；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数．

π【变式训练】圆2x2＋2y2＝1与直线xsin θ＋y－1＝0(θ∈R，θ≠kπ＋，k∈Z)的位置2关系是(

) A．相离

B．相切

C．相交

D．不能确定

题型四

圆与圆的位置关系

【例4】已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0. (1)m取何值时两圆外切？

(2)m取何值时两圆内切？

(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．

3

【方法归纳】圆与圆位置由圆心距和两半径的和与差来确定．求公共弦方程时，只需将两圆方程相减即可．

【变式训练】两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为(1，2)，则点Q的坐标为

．

题型五

圆的弦长、中点弦的问题

【例5】已知点P(0，5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0. (1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；

(2)求圆C内过点P的弦的中点的轨迹方程．

【方法归纳】在研究与弦的中点有关的问题时，注意运用“平方差法”，即设弦AB两端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为(x0，y0)，

22x1 ＋y21 ＝r，y1－y2x1＋x2x0由2得k＝＝－＝－.

22yx－xy＋y01212x＋y＝r，2 2 该法常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题．

【变式训练】若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为23，则a＝

．

三、巩固练习

(2011福建)已知直线l：y＝x＋m，m∈R. (1)若以点M(2，0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；

4

(2)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2＝4y是否相切？说明理由．

四、拓展训练

(2011新课标全国)在平面直角坐标系中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．

(1)求圆C的方程；

(2)如果圆C与直线x－y＋a＝0交于A、B两点，且OA⊥OB，求a的值．

五、反思总结：

待定系数法的一般步骤：

①根据提议，选择标准方程或一般方程；

②根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；

③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。

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当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功）

一、选择题

1、已知圆C:x2y24x0,l过点P(3,0)的直线,则

（

）

A．l与C相交

B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能

22、设m,nR,若直线(m1)x+(n1)y2=0与圆(x1)+(y1)2=1相切,则m+n的取（

）

值范围是

A．[13,1+3]

C．[222,2+22]

3、已知圆C:x2B．(,13][1+3,+) D．(,222][2+22,+)

（

）

y24x0,l过点P(3,0)的直线,则

A．l与C相交 B．l与C相切 C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能

4、圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为

（

）

D．相离

（

）

D．x-y+3=0 A．内切

B．相交

225、将圆x+y -2x-4y+1=0平分的直线是

A．x+y-1=0 B．x+y+3=0 6、直线xC．外切

C．x-y+1=0 2y20与圆x2y24相交于A,B两点,则弦AB的长度等于

（

）

B．23. 22A．25

C．3

D．1 （

）

7、若直线xy10与圆(xa)y2有公共点,则实数a取值范围是

A．[3,1]

B．[1,3]

2C．[3,1]

D．(,3][1,)

（

）

8、对任意的实数k,直线y=kx+1与圆xy22的位置关系一定是

A．相离

B．相切

C．相交但直线不过圆心

D．相交且直线过圆心

二、填空题

9、定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离,已知曲线222C1:y=x+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x+(y+4)=2到直线l:y=x的距离,则实数a=_______. 10、若n(2,1)是直线l的一个方向向量,则l的倾斜角的大小为__________(结果用反三角

函数值表示).

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11、如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP的坐标为 .

12、直线yx被圆x2(y2)24截得的弦长为_____________. 13、如图,已知AB和AC是圆的两条弦.过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D,过点C作BD的平行线与D圆相交于点E,与AB相交于点CAF,AF=3,FB=1,EF=32,则线段CD的长为F______________. B

E

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