2.3 抛物线（通用）PPT及课堂实录内容

抛物线（一）教学设计

惠东高级中学：王丽

考纲解读

1．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．

2．理解数形结合的思想．

3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．

考向预测

1．抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，直线与抛物线的位置关系是考查的热点．

2．考题以选择、填空题为主，多为中低档题．

3．解答题考查直线与抛物线的位置关系．

知识梳理

一、抛物线的定义

平面内到定点F的距离等于到定直线l(定点不在定直线上)的距离的点的轨迹是抛物线．其中定点叫焦点，定直线叫准线．

二、抛物线方程

抛物线的类型、标准方程及其几何性质：(注意：表中的p>0) 抛物线的标准方程（即抛物线顶点在原点，对称轴为坐标轴）有四种不同的形式，这四种标准方程的联系与区别在于：

(1)p的几何意义：参数p是焦点到准线的距离，p恒为正数．

(2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向．

1(3)焦点的非零坐标是一次项系数的4. 典例探究

例1

求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：

(1)过点(－3,2)；

(2)焦点在直线x－2y－4＝0上；

思路分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p,可使用待定系数法；从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论．注意事项：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方

程时，需先定位，再定量.

【题后感悟】抛物线的标准方程有四种,在求解过程中,首先要根据题目描述的几何性质判断方程形式,若只能判断对称轴,而不能判断开口方向,可设为x2=ay(a≠0)或y2=ax(a≠0)，然后利用待定系数法和已知条件求解.

例2

设P是抛物线y2＝4x上的一动点，

(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；

(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．

思路分析：由抛物线方程为y2＝4x知，此抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)与到点F(1,0)的距离最小的问题，从而获得问题的解答．

【题后感悟】

与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．

例3

已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，F为抛物线焦点，A(x1，y1)、B(x2，y2)，求证：

(1)|AB|＝x1＋x2＋p；

(2)以AB为直径的圆与抛物线准线相切．

【题后感悟】抛物线的焦半径与焦点弦有许多特殊的性质(特别是某点的焦半径等于这点到准线的距离，化两点间的距离为点线间的距离)应用起来非常方便，还有其他的一些性质这里就不一一证明了

课时升华

本课时重点是抛物线的定义、四种方程及几何性质．难点是四种方程的运用及对应性质的比较、辨别和应用，关键是定义的运用．在复习过程中注意以下几点：

1．求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线，一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法．

2．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．

3．由于抛物线的离心率e＝1，所以与椭圆及双曲线相比，它有许多特殊的性质，而且许多性质是可以借助于平面几何的知识来解决的．

4．抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，

等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．

5．求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程．

6．在解题中，抛物线上的点、焦点、准线三者通常与抛物线的定义相联系，所以要注意相互转化．

7．焦半径：抛物线上的点M到焦点F的距离叫焦半径．

8．抛物线中与焦点弦有关的一些的性质

(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；

(2)抛物线的通径为2p，通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦；

(3)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦为AB，A(x1，y1)、B(x2，y2)，则①|AB|＝x1＋x2＋p；②x1x2＝

，y1y2＝－p2. 课后作业

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