探究与发现 为什么截口曲线是椭圆教学设计及说课稿

人教A版选修2-1第二章

椭圆及其标准方程

第一课时

教学设计

石家庄市第二中学

刘俊男

一．

教材分析

本节课是人教A版高中数学选修2--1第二章《椭圆及其标准方程》的第一节新授课，主要学习椭圆的定义和标准方程。它是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识。这一节课是在学完《曲线与方程》的基础上，将研究曲线的方法拓展到椭圆，又是继续学习椭圆的几何性质的基础；同时还为后面学习双曲线和抛物线作好准备。因此本节内容起到一个承上启下的重要作用。

二．

学情分析

学生虽然对椭圆图形有所了解，但只限于感性认识，缺少理性的思考、探索和创新，本节课从生活实例出发，结合数学史的进程制作“椭圆的形成发展”动画，充分发挥数学史对数学课程教育的作用和功效。同学们动手操作画椭圆，讨论建系方案既而推导椭圆的标准方程。同时，学生已学习了直线和圆的方程，并初步学习了求曲线方程的一般方法和步骤，但学生仍对坐标法解决几何问题存在障碍。且计算能力较弱，因此在方程的推导中会遇到障碍，成为本节的难点。

教学过程中师生共同使用智慧平板代替传统的交互式白板，采用智慧平板课题模式中的同步摄像、学生分享、投票、课堂分组、学生演示、抢答、拍照投屏等功能辅助学生理解掌握本节的知识内容，学生课前对智慧平板的各项功能的操作步骤已经有所了解。

三．

教学目标

知识与技能目标：①理解椭圆的定义；②理解椭圆的标准方程的推导，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力；③用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程。

过程与方法目标：①通过对“椭圆的形成发展”动画的学习，学生在椭圆定义的获知和归纳中，逐步渗透数形结合的数学思想方法；②通过椭圆标准方程的推导过程，巩固用坐标化的方法求动点的轨迹方程，同时体会含有两个根式的化简思路。③采用智慧平板课题模式中的同步摄像、学生分享、投票、课堂分组、学生演示、抢答、拍照投屏等功能，提高学生对新知识研究的兴趣，快速形成新知识体系的建立，在“操作”中“感知”，在“感知”中“成长”。

情感、态度和价值观：①通过学习数学史的动画体会到前人对椭圆探索的艰辛过程与创新的乐趣；②通过对椭圆建立平面直角坐标系方案的讨论过程，培养学生多元化思考的方式并体会数学的简洁美、对称美；③通过师生、生生合作画椭圆的实验，在椭圆方程的推导过程中学生间的互帮互助，增强学生团队协作能力。

四．

教学重点与难点

重点：掌握椭圆的标准方程，理解坐标法的基本思想。

难点：椭圆标准方程的推导与简化，坐标法的应用。

五．

媒体使用及课前准备

智慧平板、细绳、图钉、纸板、三维动画、教学课件

六．

教学过程

（一）

创设情境、课程导入

师：请看大屏幕，这是我们所在太阳系天体的运行轨道、鸟巢的建筑、平行光束斜照下篮球在地面的影子，大家感觉这些是什么图形呢？

生：椭圆（异口同声）

师：同学们想知道椭圆在数学史上的发展过程吗？下面让我们看一段视频。（结合数学史的进程自制“椭圆的形成发展”动画，请同学们体会到前人探索的艰辛与创新的乐趣）

（二）动手实验，形成概念

师：视频结束，下面请同学们参照前人的做法，（PPT给出视频中前人做法的图片）用课前准备好的细绳、图钉、纸板两人一组画一画椭圆。

同学们已经画好，让我们一起看下A小组的操作过程. 生：一名同学动手操作，另外一名同学随着操作进程进行作讲解。（此处智慧平板的同步摄像功能），将学生操作的过程通过教师的摄像同步展示到大屏幕，其余学生认真观看A小组的操作步骤。

师：两位同学合作完成的很好，那么如果改变两定点间的距离，使其等于绳长，轨迹会是什么图形呢？请大家动手行操作试一试。

同学们基本有了结果，让我们一起看B小组的操作过程。

生：学生边操作边讲解。（此处智慧平板的同步摄像功能）

师：看来是与大家的结果不谋而合了啦。那么定点间距离大于绳长，轨迹是什么样的？

生：轨迹不存在。（异口同声）

师：很好，那么结合问题，我们能总结出椭圆的定义吗？

（学生举手总结，并请其他同学为其补充完善）

师：结合两位同学的发言，我们将两定点记为F1、F2，于是得到椭圆的定义。（书写板书）平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。

其中常数我们通常用2a来表示，两个定点

，

叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距，通常用2c来表示。

（三）探究建系、推导方程

师：在数学的发展进程中，椭圆逐步脱离了圆锥的束缚，表示为一种平面轨迹。那么如何建系才能使椭圆的方程更简便？请同学们先独立思考，稍后进行小组间讨论，将建系的结果进行上传。（此处智慧平板的课堂分组功能）

生：学生独立思考后，小组间讨论。用智慧平板将建系的结果拍照使用局域网上传。（此处智慧平板的学生分享功能）

师：经过统计筛选，大致可分为四种方案，并将方案投屏展示给学生们看。从左至右，从上到下，依次为方案A、方案B、方案C、方案D，稍后我们进行投票，请大家选择满意的方案。

生：学生根据方案进行投票。（此处智慧平板的投票功能）

师：投票完毕，结果如屏幕所示，可以看出大家对方案XX的认可程度更高。那么哪位同学愿意说说选择方案的理由？

生：学生阐述理由，提及图像的对称性。

师：对称本身是一种美，而在数学里简洁就是美，依此建系得到方程可能也会更简单。下面请同学们动手推导焦点在x轴上的椭圆方程。

（学生们独立动手推导，教师查看学生完成的情况）

师：大部分同学已经完成，有些同学遇到了困难。哪位同学愿意将遇到的问题进行分享？

生：学生将解题过程拍照上传到前面的大屏幕，与同学们说明遇到困难的原因。（此处智慧平板的学生演示功能）

师：不要着急（安慰遇到困难的同学）。哪位同学愿意帮他解决问题呢？

生：学生将解题过程拍照上传到前面的大屏幕，与大家分享他的解决办法。讲解过程中学生可以用平板笔在智慧平板上画线标注重点。（此处智慧平板的学生演示功能）

师：对学生解题方法进行总结，XX学生为我们介绍了化简含有两个根式的一般方法：将其中的一个根式移项后平方进行化简。为了使方程形式更加对称简洁，我们可以令b2代替化简结果中的a2c2。因此我们得到焦点在x轴上的椭圆方x2y2程为221ab0（书写板书）

ab

b是我们在化简方程的过程中引入的量，那么在椭圆b具有几何含义吗？如果有，几何意义是x2y21(ab0)中a2b2什么呢？请同学们作图思考，有答案的同学可以进行演示。

生：学生将所画的图形拍照上传到前面的大屏幕并解说。（此处智慧平板的学生演示功能）

师：通过构建直角三角形我们更容易得出a，b，c三者之间的联系。让我们回忆焦点在x轴上的推导过程，根据椭圆定义可以得到：MF1+MF2=2a，代入坐标可以表示为：x2ycx2yc2a，那么椭圆的焦点在22y轴上，我们同理可得关系式为：yc2x2yc2x22a。观察两个坐标式，能否得出焦点在y轴上的椭圆方程呢？有答案的同学可以进行抢答。恭喜XX同学，请你为大家解答。

生：学生平板页面出现三秒倒计时，有答案的同学点击抢答，抢答成功后对问题进行讲解。（此处智慧平板的抢答功能）对比两个坐标式，只要把x、y对换即可得到，从而得到了焦点在yy2x2轴上的椭圆方程：221(ab0)（书写板书）

ab师：我们将这两个椭圆方程统称为椭圆的标准方程。（书写板书）掌握了这些知识，就让我们试试身手吧！请大家动笔完成。

（四）实战演练、方法探索

屏幕出示：已知椭圆两个焦点的坐标分别是(2,0),(2,0)，并且经过点P(53,)，求椭圆的标准方程。

22

师：教师查看学生的做题情况，将XX学生的典型解题过程进行拍照投屏。（此处智慧平板的拍照投屏功能）同学们基本完成，屏幕上是XX同学的答案，我们请他为大家讲解。

生：学生根据大屏幕上自己的解题过程进行讲解，其余同学认真看解题过程并思考。

师：请同学们留意解题过程，有需要完善的地方吗？

生：其他同学提出完善的意见。

师：利用平板笔在解题过程上进行批改修正，使解题过程变得完美。那么同学们还有其他的做法吗？

生：学生将解题过程拍照使用局域网上传，教师进行投屏展示给全体学生。（此处智慧平板的学生分享功能）学生进行讲解，其余同学认真看屏幕思考。

师：总结学生的做法，进行鼓励和修正。

（五）课堂总结、课后反思

师：我们对椭圆的学习先告一段落，请同学们谈谈本堂课的收获。

生：椭圆的定义、椭圆的两种标准方程、求椭圆标准方程的两个方法：定义法和待定系数法。

师：他对知识内容总结的很全面。那么在椭圆的历史发展和研究过程中同学们有什么收获和感受？

生：通过推导椭圆的标准方程的过程，学会了两个根式相加式子的化简方法，提高自己的运算能力。

师：希望大家以后的运算能力越来越好。

生：通过了解椭圆在数学史上的发展历程，感叹于前人的智慧，我们是站在巨人肩膀上进行学习，以后会更加努力的。

师：非常棒，希望我们发扬前人的钻研精神，努力创新争取做的更好。大家总结得都很到位，本堂课从椭圆的定义入手，建系推导椭圆的标准方程，之后我们将以此为基础对椭圆的性质进行研究。

请同学们课后完成教材42页的练习，并思考能否通过截面建系得到椭圆的标准方程？本堂课就上到这里，下课。

七．

板书设计

椭圆及其标准方程

1.椭圆的定义

的距离之和等于常数

（大于|F1F2|）的点的轨迹

2.标准方程

a2=b2+c2

屏 幕

22平面内与两个定点F1、F2

焦点在x焦点在yxy+=1 a>b>0轴: 2a2bx2y2轴：2

+2=1 a>b>0ba八．

信息化技术手段设计

九．

视频内容设计

正如选修2-1数学课本的封面，最初人们是通过用一个平面截圆锥形成的截面来认识椭圆的，所以椭圆是一种圆锥曲线。公元前4世纪，古希腊数学家欧几里得著有《圆锥曲线》，其中给出：椭圆是圆锥与不过其顶点且与其所有母线相交的平面相截而得到的平面曲线。

时隔2000多年，17世纪初期笛卡尔创立了解析几何，数学家们从代数的视角，运用解析的方法，研究圆锥曲线的定义、方程和性质。荷兰数学家舒腾给出了椭圆的三种作图工具。法国数学家洛必达在《圆锥曲线分析》中依据椭圆的作图方法给出新定义：椭圆是平面上到两定点距离之和等于常数的动点轨迹。

直到1822年，比利时数学家旦德林把古希腊椭圆定义和17世纪新定义之间建立联系。他在一篇论文中提到：在圆锥内放两个大小不同的内切球，两球在截面的两侧，其切点分别为点E、F，在椭圆截面上任取一点A作圆锥的母线，分别与内切球交于点B、C.

我们通过观察发现AF、AB是小球的两条切线，从而有AF=AB。同理AC=AE，既而得到AF+AE=AC+AB。由切点B、C的产生方法可知，它们之间的距离BC是定值，这样：椭圆上任意一点到两定点的距离之和为常数。这个发现以古希腊椭圆定义为基础，合理解释了17世纪新定义的内容，为椭圆定义的形成发展做出了巨大的贡献。