复习参考题PPT及课堂实录内容

§3.2立体几何中的向量方法（一）教学设计

主备教师：朱桂生

一、

内容及解析

解析几何中，建立坐标系，利用坐标和方程解决向量问题。要求学生掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．

二、

目标及解析

目标定位：利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．

目标解析：向量运算解几何题是通过空间直角坐标系研究的坐标法，它通过坐标把向量转化为数及其运算来解决问题.

三、

问题诊断

空间向量可以确定空间中点、直线、平面的位置，这样可将立体几何问题转化为向量问题，但这个转化过程对学生较难，教学中应该从一些简单的问题着手，让学生先会转化，再加深难度。

四、

教学支持条件

利用多媒体可让学生更直观的理解空间中点、线、面的位置。

五、教学过程：

问题：立体几何问题转化为向量问题的途径？

（1）通过一组基向量研究的向量法，它利用向量的概念及其运算解决问题；

（2）通过空间直角坐标系研究的坐标法，它通过坐标把向量转化为数及其运算来解决问题.

问题1：法向量定义的概念？

问题2：立体几何如何转化为向量问题？进行怎样的向量运算？

例题讲解

课本P105例1、例2 设计意图：掌握几何转化为向量问题的途径及方法。

变式训练：如果两条直线同垂直于一个

平面，则这两条直线平行．

来源学科网来源学科网

证明：以点O为原点，以射线OA为非负z轴，建立空

间直角坐标系O-xyz，i,j,k为沿x轴，y轴，z轴的坐标向量，且设BD＝(x,y,z)．

∵BD⊥α，

∴BD⊥i，BD⊥j，

∴BD·i＝(x,y,z)·(1,0,0)＝x＝0，

BD·j＝(x,y,z)·(0,1,0)＝y＝0, ∴BD＝(0,0,z)．∴BD＝zk．即BD//k．

由已知O、B为两个不同的点，∴OA//BD

六、课堂小结：

向量法解题“三步曲”? （1）化为向量问题

→（2）进行向量运算

→（3）回到图形问题.

七、目标检测

课本P120、

习题A组

1、2题. 八、配餐作业

A组

1．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于(

) A．30° B．150°

C．30°或150° D．以上均错

答案

A 2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于(

) A．30° B．60° C．150° D．以上均错

答案

B

3．直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，直角顶点C在α内的射影是C′，则△ABC′是(

) A．直角三角形 B．钝角三角形

C．锐角三角形 D．各种情况都有可能

答案

B 解析

∵0 = CA源:Zxxk.Com]·CB = （

CC' +C'B.·（CC'+C'A）C'B）[来

=|CC'|2+∴C'A·C'A·

2C'B =|CC'|< 0,

因A，B，C′不共线，故∠AC′B为钝角. 4．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小是(

)

A．等于90° B．小于90°

C．大于90° D．不确定

答案

A 解析

A1B1⊥平面BCC1B1，故A1B1⊥MN，

MP·＝(＋)·

=MB·＋·＝0，

1∴MP⊥MN，即∠PMN＝90°. 5．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平

面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(

) 1232A. B. C. D.

2332答案

B B组

6．若两个平面α，β的法向量分别是n＝(1,0,1)，ν＝(－1,1,0)．则这两个平面所成的锐二面角的度数是________．

答案

60°

－11解析

cos〈n，ν〉＝＝－.∴〈n，ν〉＝120°. 22·27．正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是DD1，B1C1的中点，P是棱AB上的动点，则A1M与PN所成的角是________．

答案

90°

解析

设正方体每边之长为1，因

A1MA1D1D1M

1= A1D1＋，2[来源:Zxxk.Com]

1PNPB＋＋，

2∴A1M·PN＝·PBBB1B1C1

121111= A1D1·＋·＝－＝0，

2222

∴A1M⊥PN,即A1M与PN所成的角为90°. C组

8．已知正四棱锥S—ABCD的侧棱长为2，底面的边长为3，E是SA的中点，求异面直线BE和SC所成的角．

解

建立如图所示空间直角坐标系．

由于AB＝3，SA＝2，

2可以求得SO＝.则

23333B，，0，A，－，0，

2222332C－，，0，S0，0，. 222由于E为SA的中点，

332所以E，－，，

4443332所以BE＝－，－，，

444332SC＝－，，－，

222因为BE·SC＝－1，

[来源:学科网]|BE|＝2，|SC|＝2，

－11所以cos〈BE，SC〉＝＝－，

22×2所以〈BE，SC〉＝120°. 所以异面直线BE与SC所成的角为60°. 9．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，

AA1＝2，E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB＝FB＝1，

(1)求二面角C—DE—C1的正切值；

(2)求直线EC1与FD1所成角的余弦值．

解

(1)

以A为原点，AB、AD、AA1分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则有D(0,3,0)，D1(0,3,2)，E(3,0,0)，F(4,1,0)，C1(4,3,2)，

于是DE =（3,3，0），FD1 =（4，2，2）.EC1 =（1，3，2），

设平面C1DE的法向量为n=（x，y，z）.

则n⊥DE， n⊥EC1

∴3x 3y=0,

x+3y+2z=0.

∴x=y=z.令z = 2,

则n＝(－1，－1,2)．

∵向量AA1＝(0,0,2) 是平面CDE的一个法向量，

∴n与向量AA1所成的角θ为二面角C—DE—C1的平面角．

∵cosθ＝2n·AA16∴tanθ＝. ,23|n||AA1|(2)设EC1与FD1所成角的为β，

则

21cosβ=＝. 14