3.4 生活中的优化问题举例优秀课堂实录

《3.4 生活中的优化问题举例》的教学设计

1．内容和内容解析

“优化问题”是现实生活中常碰到的问题，比如速度最快、距离最小、费用最低、用料最省、效率最高、增长率、膨胀率等。而解决方法可以多样，学生较为熟悉的是线性规划问题，二次函数最值问题，或结合函数图象解决最值。而本节内容主要是应用导数解决生活中的优化问题，使学生体会导数在解决生活中的优化问题的广泛作用和强大实力。教材主要在效率、利润、最大容量三个方面举例说明。

从教学内容分析，教材例题与学生生活经验有一定的差距离，问题信息量大，数学建模要求高，在具体的教学中，可以设置有一定梯度和接近学生生活中的优化问题，提高学生的学习兴趣，同时告诉学生如何去思考解决这类问题的一般思路。

通过本节的学习让学生为下节导数的学习打下铺垫，真正了解导数在生活中的意义。

2．目标和目标解析

本节课主要培养学生数学知识的应用意识，应用导数, 解决生活中的优化问题。同时教学中应突出导数的应用研究。

（1）熟练掌握生活中常遇到的“效率最高”，“容量最大”，“利润最大”的解决方案；

(2)继续培养学生数学建模的能力。

为实现以上目标，可以分以下几步进行：

（1）一般信息题的函数建模问题。

（2）设置能用二次函数，基本不等式解决优化问题的应用题。

（3）引导学生用导数解决一般的优化问题。

（4）总结解决优化问题的思路是: 第一步将优化问题转化为用函数表示的数学问题, 第二步是应用导数这个工具解决数学问题, 进而得到优化问题的答案。

3．教学问题诊断分析

这一节的难点之一是数学建模问题。

比如，教材例1“汽油的使用效率何时最高”问题，题目的背景不熟悉，呈现形式不是很简洁，即使学生预习，也不知所云。此题是用到“在曲线上求一点P，使得OP与曲线相切并切于点P”而解决此问题就要学生充分掌握导数几何意义。作为函数的建模题，信息加工、数据的收集、函数图象呈现、图象的分析等都是学生的策手问题。既然“导数的应用”作为本节的重点，那么在具体施教中不妨对例题作一些处理，化解难点，突出重点。

难度之二是学生的“用导数求函数最值”知识是否扎实。

在掌握函数极值的判别法之后，判定可导函数的极大值与极小值并不困难，但在遇到一些实际问题时，往往会遇到障碍。这里关键是能从实际问题的不同情景出发，建立与之相对应的函数关系, 再应用求函数极值的方法最终解决问题。有了这些准备工作，学习本节才有可能。教学过程中，要引导学生联系到前面学习的内容，在复习引入环节中，可以用一二个题加以温故。

就例1而言, 对于这样一个优化问题, 关键是培养学生的解题思路。“

汽油的使用效率该如何理解”，只有准确理解了这个概念, 才能把优化问题转化为用函数表示的数学问题, 这样就建立与其相应的数学模型, 再通过研究相应函数的性质, 提出优化方案, 使问题得到解决。需要强调指出的是, 在这个过程中, 导数往往是一个有力的工具。

在教学中要逐步培养起学生的分析能力, 能够把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解。对这样的优化问题, 学生可能要有一定的时间去理解、消化。

在教学中，还是要坚持“由易到难，由简到繁”的教学思路，以顺应学生的现有的知识水平和认知规律。

鉴于上述诊断，在教学过程设计中，采用了教材的例1与例3，并作适当的改动，目的是降低一些难度，并对例1进行了分解。至于教材例2“磁盘的最大存储量问题”，它是科技问题，有较强的专业性，所建数学模型是二次函数，而二次函数模型的解决一般不用导数解决，所以作为课外阅读材料布置给学生。

4．教学支持条件分析

数学建模能否成功，不仅与教学条件是否成熟有关，而且与学生生活阅历有关。用数学知识解决生活中的问题，是数学课堂教学的教学理念，是学生的数学素质的表现。它不局限于一节内容能让学生定量的收获多少，而是让更多的学生有“遇到问题，试图用知识解决生活中的实际问题”意识，从而慢慢成为学生的一种能力。 5．教学过程设计

NO.1．课题引入设计

问题：

（1）通过研究一组学生的学习行为，心理学家发现学生在课堂上接受一个概念的能力与教师在引入概念之前提出和描述问题的时间有关，刚开始阶段接受哪里渐增，但时间越长注意力越低，从而接受能力开始下降.分析总结表明学生的接受能力与描述的时间有如下的经验公式：G(x)=-0.1x2+2.6x+43,x

，其中G(x)是接受能力的一种度量，x表示提出和描述所用的时间(单位：分钟).则当x= 分钟时，学生能力最强。

（2）将长为

l的铝合金制成如图1的一个窗，如何设计窗的长与宽使窗的采光面积最大？

用问题形式引入新课，一是进一步提升学生建模能力；二是让学生自行设计解决问题方案。此题可以用基本不等式，也可以利用二次函数求最值，也可以用导数求最值。用一题多解的题，既能复习前面的知识又能引入新知识，让学生有对比更能掌握新知识。

同时也应“什么是生活中的优化问题”向学生作一个交代。根据定义, 优化问题其实质是求一些实际问题的极大值与极小值, 通过前面的学习, 我们已经掌握了用导数求函数极值的方法。

所以在解决这类问题的时候重点要放在如何把实际问题转化相应的函数关系，也就是数学建模。

NO.2．问题链设计

问题1：

（1）求曲线y=x2+2在点P(1,3)处的切线方程.

（2）若曲线y=x3上某点切线的斜率为3，求此点的坐标。

意图：两题是姊妹题，以求解问题过程，作为知识掌握程度的检测。

（1）重提导数概念的实际背景（切线的斜率，瞬时速度），导数的几何意义。

（2）唤起学生对旧知识的回忆，为导数的应用作准备。

问题2：已知点P（x,y）是函数y=2x(x>0)图象上的任一点,试求的最小值。

意图：是上两题的引伸，直线PO的斜率k=，问题转化为求k的最小值。由数

形结合可得当直线PO与函数图象相切时，K取得最小值。而一般曲线的切线斜率就与导数的几何意义紧密相连。

同时也为了分散例1的难点，因为此问题也是下面例1的数学模型，为解决例1作好铺叠。

问题3：生活中的优化问题，如何用导数来求函数的最小(大)值？

例1 根据提供材料，探究汽油使用效率何时最高。

材料：随着我国经济高速发展，能源短缺的矛盾突现，建设节约性社会是众望所归。现实生活中，汽车作为代步工具，与我们的生活密切相关。众所周知，汽车的每小时耗油量与汽车的速度有一定的关系。如何使汽车的汽油使用效率最高（汽油使有效率最高是指每千米路程的汽油耗油量最少）呢？

通过大量统计分析，得到汽油每小时的消耗量 g(L/h)与汽车行驶的平均速度v（km/h）之间的函数关系g=f(v)

如图2，根据图象中的信息，试说出汽车的速度v 为多少时，汽油的使用效率最高？并轭要地写明理由。

解析：设汽油的使用效率G，路程为S，共耗油W，根据“使有效率”的意义，得，问题转化为求G的最小值。而W－S没有函数关系，那么由就能转化为g-v

关系，即，再结合问题2，就得到结论。

意图：本例题是对教材例1的呈现作了改动，去除了原题中的干扰信息，比如“对汽油使用效率最高”的含义的理解。至于原题中“是不是汽车的速度越快，汽油的耗油量越大？”的问题，不是本节课的教学内容，所以不必出现。原题“汽油的耗油量”应指

“汽油每小时的消耗量”，所以本例题也作了明确表述。

例2 根据所给材料，探求饮料瓶大小对饮料公司利润的影响。

材料:某饮料公司出售球形的饮料，每出售1ml的饮料可获利0.2分(不含瓶子的成本),而瓶子的成本是0.8

r2(0

（1）请建立利润y与瓶子半径r的函数关系。

（2）分别求出瓶子半径多大时利润最小、最大。

（3）饮料瓶大小对饮料公司利润是如何影响的？

意图：这样的设计，使题意更明确，也降低了学生建模难度，把重点放到了对函数关系式的分析上。第（3）题，是前二个小题的深化，使学生体会到数学知识的实用性。当然也可以另辟蹊径，用计算机作出函数图象，分析图象的最低点，但要受到教学条件制约。

练习: 圆柱形金属饮料罐的表面积一定时，应怎样制作，其容积最大？

解析：设圆柱的高为h，底面半径为R，则S=2πRh+2πR2，

由V’(R)=0得S－3πR2=0得S=6πR2，∴ 6πR2=2πRh+2πR2，∴

h=2R，

即当罐的高和底面直径相等时容积最大。

意图：是例2的一个巩固。也可以说是一个“临摹”，让学生体会到成功。教学要培养学生的创新能力，但基本的技能，数学的解题思想还是要夯实。课堂教学一手抓创新，一手抓基本功，二手都要硬。

No.3．目标检测设计

甲、乙两地相距

千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地．已知汽车每小时的运输成本y(以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度

（千米/小时）的平方成正比，比例系数为

(b>0)；固定部分为

元.

（1）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

（2）如果速度不能小于千米/小时，那么汽车又应以多大速度行驶，才使全

程运输成本最小？

此题紧扣本节课的重点，也是本节内容的一种总结形式。第（1）小题的设问是检测学生建模、解模能力，方法多样，第（2）小题是体现导数的应用。灵活掌握数学知识，是解决实际优化问题的最好方法。