1.2.1 中心投影与平行投影PPT配套优秀教学设计内容

_2.1

平行投影与圆柱面的平面截线

[对应学生用书P37]

[读教材·填要点]

1．平行投影

(1)回顾必修二定义：已知图形F，直线l与平面α相交，过F上任意一点M作直线MM′平行于l，交平面α于点M′，则M′叫做点M在平面α内关于直线l的平行投影．如果图形F上的所有点在平面α内关于直线l的平行投影构成图形F′，则F′叫做图形F在α内关于直线l的平行投影，平面α叫做投影面，l叫做投射线，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为正投影．

(2)平行投影的性质(直线与投影线不平行)：

①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；

②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；

③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；

④与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；

⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段比．

2．圆柱面的平面截线

如果一个平面垂直于一圆柱的轴，截圆柱所得的截线为一圆；如果一个平面与圆柱的轴所成角为锐角，截圆柱所得的截线形状为椭圆．

[小问题·大思维]

1．正投影与平行投影之间有什么关系？

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提示：正投影是平行投影中投射线的方向与投射面垂直的一种特殊情况．

2．一个圆在一个平面上的正投影是什么形状？

提示：若一个圆所在平面β与平面α平行，该圆在平面α内的正投影为一个圆；如果β与平面α垂直，则圆在平面α的正投影为一条线段；若平面β与平面α不平行也不垂直时，该圆在平面α上的正投影为一个椭圆．综上可知，一个圆在一个平面上的投影可能为一条线段、椭圆或圆．

[对应学生用书P37]

[例1]

如图所示，在三棱锥P－ABC中，E，F分别是AC，AB的中点，△ABC和△PEF都是正三角形，且PF⊥AB. 求证：点C在平面PAB内的正射影为点P. [思路点拨]

本题考查正投影的概念，解答本题需证明PC⊥平面PAB. [精解详析]

在三棱锥P－ABC中，由△ABC是正三角形，可设AB＝BC＝AC＝a. ∵E，F分别是AC，AB的中点，且△PEF是正三角形，

11∴PE＝PF＝EF＝BC＝a. 22∵PF⊥AB，

121212∴PA2＝AF2＋PF2＝2a＋2a＝2a，

1同理，PB2＝a2. 2又∵AF＝AE，PF＝PE，

∴PA2＝PE2＋AE2，

∴PE⊥AC. 121212∴PC2＝PE2＋EC2＝2a＋2a＝2a，

11∴PA2＋PC2＝a2＋a2＝a2＝AC2，∴PA⊥PC. 2211又∵PB2＋PC2＝a2＋a2＝a2＝BC2，∴PB⊥PC. 22∴PC⊥平面PAB，

点的投影

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即点C在平面PAB内的正射影是点P.

因为点在任何平面上的投影仍然是点，所以解决此类问题的关键是正确作出点在平面内的正投影．

1.如图，P是△ABC所在平面α外一点，O是点P在平面α内的正投影．

(1)若P点到△ABC的三边距离相等，且O点在△ABC的内部，那么O点是△ABC的什么心？

(2)若PA、PB、PC两两互相垂直，O点是△ABC的什么心？

解：(1)由P到△ABC的三边距离相等，故有O到△ABC的三边距离相等，

∴O为△ABC的内心．

(2)∵PA⊥PB，PA⊥PC，

∴PA⊥BC，

又∵PO⊥BC，

∴OA⊥BC，同理OB⊥AC，OC⊥AB，

∴O为△ABC的垂心.

[例2]

有下列4个命题：

①矩形的平行投影一定是矩形；

②矩形的正投影一定是矩形；

③梯形的平行投影一定是梯形；

④梯形的正投影一定是梯形，其中正确命题的个数是(

) A．0

C．2

B．1 D．3 几何图形的投影

[思路点拨]

本题考查平行投影的概念，解答本题需要考虑到投影面的位置不同，则投影的形状会不同．

[精解详析]

①矩形的平行投影可以是矩形、平行四边形或线段，不正确；②矩形的正投影也有矩形、平行四边形、线段三种情况，不正确；③梯形的平行投影可以是梯形、线段，不正确；④梯形的正投影也可能是梯形、线段，不正确．

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[答案]

A

不论是正投影还是平行投影都应考虑图形所在的平面与投影方向的夹角的变化关系，注意不漏、不缺，考虑问题要全面．

2．关于直角AOB在定平面α内的投影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角，其中正确判断的序号是________(注：把你认为是正确判断的序号都填上)．

解析：设直角AOB所在平面为β，在α与β垂直时直角AOB投影为一条射线，从而投影为0°的角，α与β平行时投影为直角，随着α与β所成角的变化也可以为锐角、钝角或平角，因而正确的结果为①②③④⑤. 答案：①②③④⑤

[例3]

设四面体ABCD各棱长均相等，E、F分别为AC、AD的中点，如图，则△BEF在该四面体的面ABC上的正投影是下列中的(

)

[思路点拨]

本题考查正投影的应用．解答此题的关键是确定F在平面ABC上的正投影的位置．

[精解详析]

由于BE＝BF，所以△BEF为等腰三角形，故F点在平面ABC上的正投影不在AC上而在△ABC内部，又由于EF与CD平行，而CD与平面ABC不垂直，所以F点在平面ABC上的正投影不在直线BE上，从而只有B图形成立．

[答案]

B

确定一个几何图形的正投影，其实质是确定其边界点的正投影的位置．在解决此类问题时，一定要全面考虑，否则极易出错．

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3．如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是下图中的________．(把可能的图的序号都填上)

解析：四边形BFD1E在平面ABCD和平面A1B1C1D1上的正投影均为图②，四边形BFD1E在平面ADD1A1和平面BCC1B1上的正投影均为图③，四边形BFD1E在平面ABB1A1和平面DCC1D1上的正投影均为②，故正确的为②和③. 答案：②③

[对应学生用书P39]

一、选择题

1．梯形ABCD中，AB∥CD，若梯形不在平面α内，则它在α的投影是(

) A．平行四边形

C．一条线段

B．梯形

D．一条线段或梯形

解析：当梯形所在的平面平行于投影线时，梯形在α上的投影是一条线段；当梯形所在的平面与投影线不平行时，梯形在α上的投影是一个梯形．

答案：D 2．一条直线在一个面上的平行投影是(

) A．一条直线

C．一条直线或一个点

B．一个点

D．不能确定

解析：当直线与面垂直时，平行投影可能是点．

答案：C 3．△ABC的一边在平面α内，一顶点在平面α外，则△ABC在面α内的投影是(

) A．三角形

B．一线段

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C．三角形或一线段

D．以上均不正确

解析：当△ABC所在平面平行于投影线时，投影是一线段，不平行时，投影是三角形．

答案：C 4．圆柱的正投影可能是(

) A．圆

C．圆或矩形

B．矩形

D．圆或平行四边形

解析：根据圆柱的三视图可知圆柱的正投影是圆或矩形．

答案：C 二、填空题

5．一个平行四边形的平行投影是________．

答案：平行四边形或线段

6．两条相交直线的平行投影是________．

解析：两条相交直线的平行投影，仍然有一公共点，因为两条相交直线的交点的平行投影必在两条直线的平行投影上，从而有两条相交直线的平行投影为两条相交直线，或者是一条直线．

答案：两条相交直线或一条直线

7．在四棱锥P－ABCD中，四条侧棱都相等，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB>CD，为保证顶点P在底面ABCD所在平面上的正投影O落在梯形ABCD外部，则底面ABCD需满足条件________．(填上你认为正确的一个充分条件即可) 解：由已知四条侧棱都相等得P在底面ABCD上正投影O应为四边形ABCD的外接圆圆心，要使圆心O在四边形ABCD外，则应使∠ACB>90°，或∠ADB>90°. 答案：∠ACB>90°(或∠ADB>90°) 8．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的正投影有可能是：

①两条平行直线；

②两条互相垂直的直线；

③同一条直线；

④一条直线及其外一点．

在上面结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确的结论的编号)．

解析：当a、b均与α

斜交且二者的公垂线与α平行时，a、b在α上的正投影是两条平行直线；当a、b均与α斜交且其中一条垂直于另一条在α内的正投影时，两直线在α内的正投影为相互垂直的直线；当其中一条与α垂直，另一条与α斜交时，正投影为一直线及第6页

其外一点．

答案：①②④

三、解答题

9．如图，△ABC是直角三角形，AB是斜边，三个顶点A、B、C在平面α内的正投影分别是A′、B′、C′，如果△A′B′C′是等边三角形，且AA′＝a，BB′＝a＋2，CC′π0<θ<，＝a＋1，设平面ABC与平面A′B′C′所成的二面角的平面角为θ

2求θ的余弦值．

解：设A′B′＝x，则

AB2＝x2＋4，AC2＝x2＋1，BC2＝x2＋1. ∴x2＋4＝x2＋1＋x2＋1，解得x＝2，

3∴AC＝BC＝3，∴S△ABC＝. 2S△A′B′C′＝S△A′B′C′33，∴cosθ＝＝. 23S△ABC10．过Rt△BPC的直角顶点P作线段PA⊥平面BPC.求证：△ABC的垂心H是P点在平面ABC内的正投影．

证明：如图所示，欲证△ABC的垂心H是P点在平面ABC内的正投影，只需证明PH⊥平面ABC即可．

连接AH并延长，交BC于点D；

连接BH并延长，交AC于点E，

连接PD. ∵H是△ABC的垂心，∴BC⊥AD. 又∵AP⊥平面PBC，

∴PD是斜线段AD在平面BPC上的正投影．

∴BC⊥PD. 显然PH在平面PBC内的射影在PD上，

∴BC⊥PH.同理可证AC⊥PH. 故PH⊥平面ABC. 即H是P在平面ABC上的正射影．

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11．已知Rt△ABC的斜边BC在平面α内，试判断△ABC的两直角边在平面α内的正投影与斜边组成的图形的形状．

解：(1)当顶点A在平面α上的正投影A′在BC所在的直线上时，两条直角边在平面α上的正投影是两条线段BA′、CA′，BA′＋CA′＝BC，所以正投影BA′、CA′与斜边BC组成的图形是线段BC，如图(1)．

(2)当顶点A在平面α上的正投影A′不在斜边BC所在的直线上时，

因为AA′⊥α，

所以AA′⊥A′B，AA′⊥A′C. 所以A′B

所以BC2>A′B2＋A′C2. 所以A′B2＋A′C2－BC2<0. A′B2＋A′C2－BC2因为cos∠BA′C＝<0，

2A′B·A′C所以∠BA′C为钝角．

所以△A′BC为钝角三角形．

故该图形的形状为线段或钝角三角形．

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