习题2.4教案设计范例

【课前小测摸底细】

1.抛物线y22px(p0)上一点M到焦点F的距离MF2p，求点M的坐标．

【答案】(3p,3p)

2p3p，则x，代入抛物线方程得22【解析】设点M(x,y)，由抛物线的定义得，2pxy3p，所以点M的坐标为(3p,3p)．

222.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2px(p0)

上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF,则直线OM的斜率的最大值为(

) （A）232

（B）

（C）

（D）1 332【答案】C O为坐标原点，

3.已知点A是抛物线C:x2py(p0)上一点，若A,B是以点M(0,10)为圆心，|OA|的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且ABO为等边三角形，则P的值是（ ）

A．25555 B． C． D．

2369【答案】C

4.已知F是抛物线y2x的焦点，A,B是该抛物线上的两点.若线段AB的中点到y轴5，则|AF||BF|

（

）

45A．2 B． C．3 D．4

2的距离为【答案】．C

1513，线段AB的中点到准线的距离为，

44423由抛物线的性质得AFBF23学科网

2【解析】抛物线的准线方程：x5.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为

(A)2

(B)4

(C)6

(D)8 【答案】B 2【解析】如图,设抛物线方程为y2px,AB,DE交x轴于C,F点,则AC22,即A点纵坐标为22,则A点横坐标为442222,即OC,由勾股定理知DFOFDOr,ppp4AC2OC2AO2r2,即(5)2()2(22)2()2,解得p4,即C的焦点到准2p线的距离为4,故选B.

【知识梳理】

1．抛物线的标准方程及其性质

文字语言：平面内到到定点和到定直线的距离相等的点的轨迹叫抛物线．

定义

位置

符号语言：|PF|1，F为定点，|PH|是P到定直线l的距离．

|PH|焦点在x轴负半轴

y焦点在x轴正半轴

y焦点在y轴正半轴

焦点在y轴负半轴

yxFOyO图形

FOFxxFOx标准方程

焦点坐标

准线方程

性质范围

y2px (p0)

pF(,0)

2px

2x0,yR

2y2px (p0)

pF(,0)

2px

2x0,yR

2x2py (p0)

pF(0,)

2py

2y0,xR

2x2py (p0)

pF(0,)

2py

2y0,xR

2关于y轴对称

对称性

关于x轴对称

e1

离心率

共同点：①顶点在原点；②对称轴为坐标轴；③顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离，其值为

p．

22．焦点弦长公式：设AB是过抛物线y22px (p0)焦点的一条弦（焦点弦），若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx1x2p，y1y2p2．

特别地，当直线的倾斜角时，AB为抛物线的通径，且AB2p．

2【经典例题精析】

考点1

抛物线的标准方程及几何性质

【1-1】已知P是抛物线yx上任意一点，则当P点到直线xy20的距离最小时，2P点与该抛物线的准线的距离是( )

A．2 B．1 C．【答案】C

11 D．

24【1-2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x－y= 20的两条渐近线围成的三角形的面积等于45，则抛物线的方程为( )

22A．y=4x B．y=8x C．x=4y D．x=8y

【答案】B

2222【1-3】已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，则p的值为( ).

A．1 B．1 C．2 D．4

2【答案】C

【解析】圆xy6x70化为(x3)y16，x2222p(p0)与圆2(x3)2y216相切，2p1，即p2.

2【变式一】如图，过抛物线y＝2px (p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为(

)

A．y＝9x B．y＝6x

C．y＝3x D．y＝3x

【答案】C

2222[来源:Zxxk.Com]

∴p＝|FF′|＝132|EA|＝，故抛物线方程为y＝3x．

22【变式二】抛物线y22px（p0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足AFB120.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则MNAB的最大值为（ ）A.233 B.1 C. D.2

33【答案】A.

考点2

抛物线的定义及应用

【2-1】若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_______．

【答案】9

【解析】xM110xM9

【2-2】过抛物线y=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y

1) ，B(x2, y

2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|=（ ）

A．8 B．10 C．6 D．4

【答案】A

【解析】由于2p4，因此p2，根据焦点弦公式ABx1x2p628.

【2-3】已知F是抛物线yx的焦点，A,B是该抛物线上的两点.若线段AB的中点到y2

25，则|AF||BF|

（

）

45A．2 B． C．3 D．4

2轴的距离为【答案】C

【变式1】已知点A(3,4)，F是抛物线y＝8x的焦点，M是抛物线上的动点，当|AM|＋|MF|最小时，M点坐标是(

)

A．(0,0) B．(3,26) C．(2,4) D．(3，－26)

【答案】C

【解析】由题知点A在抛物线内．设M到准线的距离为|MK|，则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MK|，当|MA|＋|MK|最小时，M点坐标是(2,4)．

【变式2】过抛物线y4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，点O是原点，若22AF3，则AOF的面积为（ ）

A.232 B.2 C. D.22

22【答案】B

【解析】由抛物线的定义知，|AF|=1xA=3，解得xA=2，所以|yA|=22，所以AOF的面积为|OF||yA|=121122=2，故选B.

2考点3

直线和抛物线的位置关系

【3-1】设抛物线x22py(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线的两条切线交于点C，则有（ ）

A．ACBC0 B．ACBC0 C．ACBC0 D．ACBC0

【解析】A．



【3-2】已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（

）

A．x1

B．x2

C．x1

D．x2

【答案】C ppp【解析】设直线方程y01x，得yx代入抛物线方程x2px

2222p2p0，x1x23p23，p2，准线方程x1学科网

化简的x3px242【3-3】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l:xy20，抛物线C:y22px(p0)

（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；

（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q. ①求证：线段PQ的中点坐标为(2p,p).；

②求p的取值范围.

2【答案】（1）y8x（2）①详见解析，②(0,)

43

【方法规律技巧】

.已知过抛物线y2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则：

①焦点弦长|AB|x1x2p或|AB|22p(为AB的倾斜角)

2sinp2，y1y2-p2

②x1x24③112p，其中|AF|叫做焦半径，|FA|x1

2|FA||FB|p

④焦点弦长最小值为2p。根据|AB|弦AB的长最短，最短值为2p。

2p可见，当为时，即AB垂直于x轴时，sin222【变式一】已知圆P：x+y=4y及抛物线S：x=8y，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自左向右顺次记为A，B，C，D，如果线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，则直线l的斜率为( )

A.2222 B. C.2 D.2

22【答案】A

【易错试题常警惕】

易错典例：求过点(0,1)的直线，使它与抛物线y2x仅有一个交点。

易错分析：对直线和抛物线有一个交点理解有误以及．

正确解析：1.当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x轴，因为过点(0,1)，所以x0,即y轴，它正好与抛物线y2x相切。

22

2.当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行x轴，它正好与抛物线y22x只有一个交点。

ykx13.一般地，设所求的过点(0,1)的直线为ykx1(k0),则2，

y2xk2x2(2k2)x10.令0,解得k = 2 ,∴

所求直线为y综上，满足条件的直线为：y1,11x1.

2x0,y1x1.

2【当堂训练】

1．在同一坐标系下，下列曲线中，右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合的是(

D

) 5x25y2A.＋＝1

32x2y2x2y25x25y2B.＋＝1

C.－＝1

D.－＝1 9532322．若点A的坐标是

(3，2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使得|PA|＋|PF|取得最小值，则P点的坐标是(

C

) A．(1，2)

B．(2，1)

C．(2，2)

D．(0，1) 3．若抛物线y2＝8x的焦点是F，准线是l，则经过点F，M(3，3)且与l相切的圆共有(

B

) A．0个

B．1个

C．2个

D．4个

110，_______．

4．与抛物线y2＝x关于直线x－y＝0对称的抛物线的焦点坐标是_1645．过点M(2，4)作与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线l有____2____条．

6．设抛物线y8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（

B

）

A．4

B．6

C．8

C

．

D．12

7．以抛物线y24x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（

D

）

A．x2y22x0

B．x2y2x0

D．x2y22x0

A．1

2x2y2x08．已知抛物线y22pxp0的准线与圆x2y26x70相切，则p的值为（

C

）

29．设直线l经过抛物线y24x的焦点，与抛物线相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，x1x28；OAOB3；通径长为4．

1，

y1y24；若直线l的斜率为1，则AB

210．已知直线l1:4x3y60和直线l2:x1，抛物线y4x上一动点P到直线l1和

B．1

C．2

D．4

直线l2的距离之和的最小值是（

A

）

A．2

B．3

C．11

5

D．37

16122211．已知M是y＝x上一点，F为抛物线的焦点，A在C：(x－1)＋(y－4)＝1上，则|MA|4＋|MF|的最小值为( B

)A．2 B．4 C．8 D．10

12．设抛物线y＝2px(p>0)的焦点为F，点A在y轴上，若线段FA的中点B在抛物线上，32且点B到抛物线准线的距离为，则点A的坐标为( A ) 4A．(0，±2) B．(0，2) C．(0，±4) D．(0，4) 213．若点A的坐标是(3,2)，F为抛物线y22x的焦点，点M在抛物线上移动时，使MAMF取最小值的M的坐标为(2,2)．

14．已知以F为焦点的抛物线y24x上的两点A、B满足AF3FB，则弦AB的中点到准线的距离为

8．

3