3.1.2 空间向量的数乘运算教学设计思路

空间向量的数乘运算

教学目标

1.通过实例，掌握向量数乘运算及其几何意义；

2.理解空间向量共面定理，能解决空间向量共面、四点共面等问题；

3.经历空间向量共面定理的探究过程，体会类比、归纳、由特殊到一般的数学思想的应用；感受向量方法在研究空间几何问题中的作用,进一步提高学习向量知识的积极性；体会类比迁移的推理方法,培养学生的创新能力. 教学重点 空间向量共线和共面条件. 教学难点 定理条件的理解及其应用. 教学过程：

一．复习引入：

1.

共线向量的概念；

2.

空间向量的线性运算；

3.

平面向量共线的判定和性质；

问题：平面向量共线的判定和性质对于空间中的两个向量是否仍然成立？

从而引入本课题

二．新课讲解：

阅读相关教材内容，在教师的引导下得到结论：

1．共线向量定理：

对空间任意两个向量a,b(b0),a//b的充要条件是存在实数，使ab

其中唯一确定．

2.推论：如果l为经过已知点A，且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式OPOAtAB①，其中向量a叫做直线l的方向向量.在l上取ABa，则①式可化为OPOAtAB或OP(1t)OAtOB②

当t11时，点P是线段AB的中点，此时OP(OAOB)

223．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．

说明：空间任意的两向量都是共面的．

4．探究空间任意三个向量什么条件下共面

通过类比和分析平面向量共线条件，学生交流讨论，教师引领，得出共面向量定理，并完成定理证明.

共面向量定理

如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使pxayb．

推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，使MPxMAyMB或对空间任一点O，有OPOMxMAyMB③

上面③式叫做平面MAB的向量表达式．

三．应用：

例1．已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满足条件OP试判断：点P与A,B,C是否一定共面？

解：由题意：5OPOA2OB2OC，

∴(OPOA)2(OBOP)2(OCOP)，

∴AP2PB2PC，即PA2PB2PC，

所以，点P与A,B,C共面．

能力提升

对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量OPxOAyOBzOC

（其中xyz1）的四点P,A,B,C是否共面？

解：∵OP(1zy)OAyOBzOC，

∴OPOAy(OBOA)z(OCOA)，

∴APyABzAC，∴点P与点A,B,C共面．

方法总结：空间四点共面证法

巩固提高

例2．已知平行四边形 ，从平面AC外一点O引向量

122OAOBOC，

555

OEkOA,OFKOB,OGkOC,OHkOD，

（1）求证：四点E,F,G,H共面；

（2）平面AC//平面EG．

通过设问：

之间的关系

（1）

如何证明四点共面；（2）如何寻找向量 引导学生独立完成

四．课堂小结：

1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；

2．空间直线的方向向量的概念；

3.证明空间四点共面的方法.

五．作业：

教材第89页练习1，2，3

六．课后反思

教案的设计以问题解决方式引入课题，通过学生作出几个向量的和，探讨它们的几何意义，使学生产生探究问题的愿望，激发求知欲，让学生积极参与到定理的发现和推导中，感受知识的形成过程，充分发挥学生的主观能动性，有利于学生形成去发现问题、分析问题、解决问题的良好学习习惯.