1.2.1 充要条件公开课教案

1．四种命题及其关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．

②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系．

[必记结论]

由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．

[提醒]

易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．

2．充分条件、必要条件与充分必要条件的概念

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件

p是q的必要不充分条件

p是q的充分必要条件

p是q的既不充分也不必要条件

[小题诊断] 1．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是(

) A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3 B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3 C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3 D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3 解析：同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题．

答案：A 2．命题“若a2＜b，则－b＜a＜b”的逆否命题为(

) A．若a2≥b，则a≥b或a≤－b

B．若a2＞b，则a＞b或a＜－b

C．若a≥b或a≤－b，则a2≥b

D．若a＞b或a＜－b，则a2＞b

p⇒q且q

p

pq且q⇒p

p⇔q

pq且qp

解析：因为“a2＜b”的否定为“a2≥b”，“－b＜a＜b”的否定为“a≥b或a≤－b”，所以逆否命题为“若a≥b或a

≤－b，则a2≥b”．

答案：C 3．(2018·唐山模拟)已知a，b为实数，则“a3＜b3”是“2a＜2b”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

解析：由于函数y＝x3，y＝2x在R上单调递增，所以a3＜b3⇔a＜b⇔2a＜2b，即“a3＜b3”是“2a＜2b”的充要条件．

答案：C 4．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的(

) A．逆命题

C．逆否命题

B．否命题

D．否定

解析：命题p：“正数a的平方不等于0”写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．

答案：B 5．(2016·高考四川卷)设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x＋y＞2，则p是q的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

x＞1，解析：∵∴x＋y＞2，即p⇒q. y＞1，B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

而当x＝0，y＝3时，有x＋y＝3＞2，但不满足x＞1且y＞1，即qp．故p是q的充分不必要条件．

答案：A 6．命题“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是(

) A．a≥4

C．a≥1

B．a＞4 D．a＞1 解析：要使“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题，只需要a≥4，∴a＞4是命题为真的充分不必要条件．

答案：B ◆

易错通关

◆

1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．

2．易忽视A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA)与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同．

[小题纠偏] 1．设a，b均为非零向量，则“a∥b”是“a与b的方向相同”的________条件．

答案：必要不充分

2．“在△ABC中，若C＝90°，则A，B都是锐角”的否命题为：________. 解析：原命题的条件：在△ABC中，C＝90°，

结论：A，B都是锐角．否命题是否定条件和结论，

即“在△ABC中，若C≠90°，则A，B不都是锐角”．

答案：在△ABC中，若C≠90°，则A，B不都是锐角

授课提示：对应学生用书第5页

考点一

命题及其关系

自主探究

基础送分考点——自主练透

[题组练通] π1．命题“若△ABC有一内角为，则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命题(

) 3A．与原命题同为假命题

B．与原命题的否命题同为假命题

C．与原命题的逆否命题同为假命题

D．与原命题同为真命题

解析：原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角成等差数列，则△πABC有一内角为”，它是真命题．

3答案：D 2．(2018·焦作质检)设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.给出命题s：若|q|＝2，则S6＝7S2，则在命题s的逆命题、否命题、逆否命题中，错误命题的个数是(

) A．3

C．1

B．2 D．0

a11－q6a11－q21＋q2＋q4a11－q2解析：若|q|＝2，则q＝2，S6＝＝＝7·＝7S2，所1－q1－q1－q2a11－q6a11－q2以原命题为真，从而逆否命题为真；而当S6＝7S2时，显然q≠1，这时＝7·，1－q1－q解得q＝－1或|q|＝2，因此，逆命题为假，否命题为假，故错误命题的个数为2. 答案：B 3．命题“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题是(

) A．若a≤b，则a＋c≤b＋c

B．若a＋c≤b＋c，则a≤b

C．若a＋c＞b＋c，则a＞b

D．若a＞b，则a＋c≤b＋c

解析：否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A. 答案：A

1.判断命题真假的方法

(1)判定一个命题是真命题，需经过严格推理证明，而要说明它是假命题，只需举出一个反例即可．

(2)利用原命题与逆否命题、逆命题与否命题具有相同的真假性对所给命题的真假进行间接判断．

2.由原命题写出其他三种命题的方法

由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得到逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．

考点二

充分必要条件的判定

互动探究

重点保分考点——师生共研

1[典例]

(1)(2018·合肥教学质检)“x≥1”是“x＋≥2”的(

) xA．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(2)如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的(

) A．充要条件

C．必要不充分条件

B．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

(3)(2018·衡阳联考)设p：x2－x－20＞0，q：log2(x－5)＜2，则p是q的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

11解析：(1)由题意得x＋≥2⇔x＞0，所以“x≥1”是“x＋≥2”的充分不必要条件，xx故选A. (2)设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然CD，所以BA.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．

(3)∵x2－x－20＞0，∴x＞5或x＜－4，∴p：x＞5或x＜－4.∵log2(x－5)＜2，∴0＜x－5＜4，即5＜x＜9，∴q：5＜x＜9，∵{x|5＜x＜9}{x|x＞5或x＜－4}，∴p是q的必要不充分条件．故选B. 答案：(1)A

(2)C

(3)B

充要条件的3种判断方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；

(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件.