1.2.1 充要条件优质课教案整理

第2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

1．命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件

p是q的必要不充分条件

p是q的充要条件

p是q的既不充分也不必要条件

p⇒q且⇒/

p

p⇒/q且q⇒p

p⇔q

p⇒/q且q⇒/p

[注意]

不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．

常用知识拓展

1．充分条件与必要条件的两个特征

(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．

(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．

2．一些常见词语及其否定

词语

否定

是

不是

都是

不都是

都不是

至少一个是

等于

不等于

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) 大于

不大于

(1)“x2＋2x－3<0”是命题．(

) (2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”．(

) (3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(

) (4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(

) (5)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立．(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

(5)√

命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是(

) A．若a≤b，则a＋c≤b＋c

B．若a＋c≤b＋c，则a≤b

C．若a＋c>b＋c，则a>b

D．若a>b，则a＋c≤b＋c

解析：选A.命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A.

(2018·高考天津卷)设x∈R，则“x3>8”是“|x|>2”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A.由x3>8可得x>2，由|x|>2可得x>2或x<－2，故“x3>8”是“|x|>2”的充分而不必要条件．故选A.

设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是________．

解析：把命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的条件与结论“换位”又“换质”得到逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．

答案：若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0

已知p：a<0，q：a2>a，则﹁p是﹁q的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．

解析：﹁p：a≥0；﹁q：a2≤a，即0≤a≤1，故﹁p是﹁q的必要不充分条件．

答案：必要不充分

四种命题的相互关系及其真假判断(师生共研)

(1)(2019·长春质量检测(二))命题“若x2<1，则－1

) A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1

B．若－11或x<－1，则x2>1 D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1 (2)(2019·广东中山一中第二次统测)下列命题中为真命题的是(

) A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题

B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题

C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题

D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题

【解析】

(1)命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若﹁q，则﹁p”的形式，所以“若x2<1，则－1

(2)命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，是真命题，故A正确；命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，是假命题，故B错误；命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，是假命题，故C错误；命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题为“若x≤1，则x2≤0”，是假命题，故D错误，选A.

【答案】

(1)D

(2)A

(1)判断命题真假的两种方法

(2)由原命题写出其他三种命题的方法

由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．

1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是(

) A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0 B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0 C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0 D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0 解析：选D.“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2

＋b2≠0”，故选D. 1k2．已知集合P＝x|x＝k＋2，k∈Z，Q＝{x|x＝，k∈Z}，记原命题：“若x∈P，则2x∈Q”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是(

) A．0

C．2

1解析：选C.因为P＝x|x＝k＋2，k∈Z＝

k2k＋1x|x＝，k∈Z，Q＝x|x＝2，k∈Z，

2B．1 D．4 所以PQ，

所以原命题“若x∈P，则x∈Q”为真命题，

则原命题的逆否命题为真命题．

原命题的逆命题“若x∈Q，则x∈P”为假命题，

则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.

充分条件、必要条件的判断(师生共研)

(1)(2018·高考北京卷)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

11x－<”是“x3<1”的(

) (2)(2018·高考天津卷)设x∈R，则“22A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】

(1)因为|a－3b|＝|3a＋b|，所以(a－3b)2＝(3a＋b)2，所以a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又因为|a|＝|b|＝1，所以a·b＝0，所以a⊥b；反之也成立．故选C.

1133x－1x－<，(2)由得0

2【答案】

(1)C

(2)A

充分条件、必要条件的三种判断方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．

(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．

(3)等价转化法：适用于“不易直接正面判断”的情况，可将命题转化为另一个等价的又易于判断真假的命题，再去判断．常用的是逆否等价法，如下：

①﹁q是﹁p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件；

②﹁q是﹁p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件；

③﹁q是﹁p的充要条件⇔p是q的充要条件；

④﹁q是﹁p的既不充分也不必要条件⇔p是q的既不充分也不必要条件．

1．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”

是“A∩B＝∅”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A.由A⊆C，B⊆∁UC，易知A∩B＝∅，但A∩B＝∅时未必有A⊆C，B⊆∁UC，如图所示，

所以“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充分不必要条件．

2．已知p：|x＋1|>2，q：5x－6>x2，则p是q的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选B.由|x＋1|>2得x<－3或x>1，所以p：x<－3或x>1；由5x－6>x2得2

3．已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，则p是q的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A.因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，

所以﹁p：x＋y＝－2，﹁q：x＝－1且y＝－1，

因为﹁q⇒﹁p但﹁p⇒/﹁q，所以﹁q是﹁p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．故选A.

充分条件、必要条件的应用(典例迁移)

已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，求m的取值范围．

【解】

由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

所以P＝{x|－2≤x≤10}，

由“x∈P”是“x∈S”的必要条件，知S⊆P.

1－m≤1＋m，则1－m≥－2，所以0≤m≤3.

1＋m≤10，所以当0≤m≤3时，“x∈P”是“x∈S”的必要条件，

即所求m的取值范围是[0，3]．

[迁移探究1]

(变结论)若本例条件不变，问是否存在实数m，使“x∈P”是“x∈S”的充要条件．

解：若“x∈P”是“x∈S”的充要条件，则P＝S，

1－m＝－2，m＝3，所以所以

1＋m＝10，m＝9，即不存在实数m，使“x∈P”是“x∈S”的充要条件．

[迁移探究2]

(变结论)本例条件不变，若“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，

因为“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件，

所以P⇒S且S⇒/P.

所以[－2，10][1－m，1＋m]．

1－m≤－2，1－m<－2，所以或

1＋m＞101＋m≥10.所以m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．

根据充分条件、必要条件求解参数范围的方法

把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列

出关于参数的不等式(组)求解．

[注意]

在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．

已知p：－4

) A．－1

B．－1≤a≤6 C．a<－1或a>6

D．a≤－1或a≥6 解析：选B.设q，p表示的范围分别为集合A，B，则A＝(2，3)，B＝(a－4，a＋4)．因a－4≤2，为q是p的充分条件，则有A⊆B，即所以－1≤a≤6. a＋4≥3，

等价转化思想在充要条件中的应用

等价转化是一种重要的数学思想，体现了“把未知问题化归到已有知识范围内求解”的求解策略．对于一个难以入手的命题，可以把命题转化为易于解决的等价命题，每一个等价命题都能提供一种解题思路．

x－1

已知p：1－≤2，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，且﹁p是﹁q的必要不充分条4件，求实数m的取值范围．

【解】

因为﹁p是﹁q的必要不充分条件，所以p是q的充分不必要条件．

由q：1－m≤x≤1＋m，则q：Q＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}．

x－1由1－≤2，解得－3≤x≤13，

4所以p：P＝{x|－3≤x≤13}．

因为p是q的充分不必要条件，则PQ，

m>0，m>0，所以1－m<－3，或1－m≤－3，所以m≥12.

1＋m≥131＋m>13，故实数m的取值范围为[12，＋∞)．

本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充分、必要条件问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是解此类问题的关键．

1．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的(

)

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选C.法一：设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然C是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．

法二(等价转化法)：因为x＝y⇒cos x＝cos y，而cos x＝cos y⇒/

x＝y，所以“cos x＝cos y”是“x＝y”的必要不充分条件，故“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．

log2x，x>0，2．函数f(x)＝有且只有一个零点的充分不必要条件是(

) x－2＋a，x≤0D，所以BA，于是“x≠y”A．a<0

1C.

21B．0

2D．a≤0或a>1 解析：选A.因为函数f(x)的图象过点(1，0)，所以函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y＝－2x＋a(x≤0)没有零点⇔函数y＝2x(x≤0)的图象与直线y＝a无公共点．由数形结合，可得a≤0或a>1.又因为{a|a<0}{a|a≤0或a>1}，故选A.

[基础题组练] 1．(2019·山西45校联考)“若a≥2或a≤－2，则a2≥4”的否命题是(

) A．若a≤2，则a2≤4 B．若a≥2，则a2≤4 C．若－2

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选C.由直线l1与直线l2平行得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验

证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1平行于l2”的充要条件，故选C. 3．(2019·南昌摸底调研)已知m，n为两个非零向量，则“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

π解析：选B.设m，n的夹角为θ，若m，n的夹角为钝角，则<θ<π，则cos θ<0，2则m·n<0成立；当θ＝π时，m·n＝－|m|·|n|<0成立，但m，n的夹角不为钝角．故“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件，故选B. 4．已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是(

) ①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．

A．①③

C．②③

B．②

D．①②③

解析：选A.本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题中的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．

5．“(x＋1)(y－2)＝0”是“x＝－1且y＝2”的________条件．

解析：因为(x＋1)(y－2)＝0，所以x＝－1或y＝2，所以(x＋1)(y－2)＝0⇒/ x＝－1且y＝2，x＝－1且y＝2⇒(x＋1)(y－2)＝0，所以是必要不充分条件．

答案：必要不充分

6．对于原命题：“已知a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数为________．

解析：原命题为真命题，故逆否命题为真；

逆命题：若a＞b，则ac2＞bc2为假命题，故否命题为假命题，所以真命题的个数为2.

答案：2 7．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．

解析：由题意知ax2－2ax－3≤0恒成立，

a<0，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得

2Δ＝4a＋12a≤0，

解得－3≤a<0，故－3≤a≤0.

答案：[－3，0] πππ8．已知函数f(x)＝2sin2x－(x∈R)．设p：x∈，，q：m－3

ππ2πππ解：因为p：x∈，⇒2x－∈，，

36342所以f(x)∈[1，2]，

又因为p是q的充分条件，

m－3<1，所以

m＋3>2，解得－1

[综合题组练] 1．(2019·河北石家庄模拟)下列选项中，说法正确的是(

) A．若a>b>0，则ln a

B．向量a＝(1，m)，b＝(m，2m－1)(m∈R)垂直的充要条件是m＝1 C．命题“角α的终边在第一象限，则α是锐角”的逆否命题为真命题

D．已知函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题

解析：选D.因为函数y＝ln x(x>0)是增函数，所以若a>b>0，则ln a>ln b，故A错误；若a⊥b，则m＋m(2m－1)＝0，解得m＝0，故B错误；(特例法)互为逆否的两个命题是等价命题，而角α的终边在第一象限，角α不一定是锐角，如α＝－315°，该角的终边落在第一象限，但不是锐角，故C错误；命题“若f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题“若f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，则f(a)·f(b)<0”是假命题，如函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2，4]上的图象连续不断，且在区间(－2，4)内有两个零点，但f(－2)·f(4)>0，故D正确．故选D. 2．(应用型)(2019·陕西西安模拟)若“x>2m2－3”是“－1

) A．[－3，3]

C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)

B．(－∞，－3]∪[3，＋∞) D．[－1，1] 解析：选D.因为“x>2m2－3”是“－1

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；

②“面积相等的三角形全等”的否命题；

③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；

④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．

其中真命题为________(填写所有真命题的序号)．

解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误．

答案：①②③

1x<2<8，x∈R，B＝{x|－1

1x<2<8，x∈R＝{x|－1

所以AB，所以m＋1>3，即m>2.

答案：m＞2