3.1.2 空间向量的数乘运算教学实录与评析

3.1.2向量的数乘运算

一、教学内容分析

实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算，也叫向量的初等运算，是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。实数与向量的积的结果是向量，要按大小和方向这两个要素去理解。向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的，定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。特别：向量的平行要与平面中直线的平行区别开。

二、教学目标设计

1、知识与能力：

（1）理解掌握向量数乘运算及其几何意义，数乘运算的运算律，并能熟练运用定义、运算律进行有关计算。

（2）理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。

（3）通过向量数乘运算的学习和探究，培养学生的观察、分析、归纳、抽象思维能力，以及运算能力和逻辑推理能力。

2、过程与方法：

（1）

经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程；

（2）体会数形结合的数学思想方法. 3、情感、态度与价值观：

培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题．

三、教学重点与难点

重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；

难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。

四、教学用具准备

多媒体、投影仪

五、教学过程设计

（一）、复习回顾，新课导入

探究：已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，并说明它们的几何意义.

类似数的乘法，把a+a+a记作3a，显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的3倍，即|3a|=3|a|. 同样，(-a)+(-a)+(-a)=3(-a)，显然3(-a)的方向与a的方向相反，3(-a)的长度是a的3倍，这样3(-a)=-3a.

（作图，归纳几何意义，引出本节课所学的内容）

（二）、师生互动，新课讲解

1．定义：实数与向量a的积是一个向量，称为向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：

（1）|a|=|||a|；

（2）当>0时，a的方向与向量a的方向相同；当<0时，a的方向与a的方向相反.

2．特别地，当=0或a=0时，a=0；当=-1时，(-1)a=-a，就是a的相反向量.

3．实数与向量的积的运算律

设、为实数，那么

（1）(a)=( )a；

（2）(+)a=a+a；

（3）(a+b)=

a+b.

（通过三个实例去解释说明数乘运算的三个运算律）

例1：计算题

（1）-34a；

（2）3(a+b)-2(a-b)-a；

（3）(2a+3b-c)-(3a-2b+c).

（通过例子说明：向量与实数之间可以像多项式一样进行运算.）

4. 探究判断向量共线的条件（等价条件）

思考：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？

对于向量a(a0)、b，如果有一个实数，使b=a，那么由向量数乘的定义知：a与b共线；

反过来，已知向量a与b共线，a0，且向量b的长度是向量a的长度的倍，即|b|=|a|，那么当a与b同向时，有b=a，当a与b反向时，有b=-a. 共线向量基本定理：

向量共线定理：向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一一个实数，使．．．．．．．．．得

ba

5. 定理的应用

(1)判断向量共线问题:

(2)证明三点共线的问题:

ABBC(BC0)

A、B、C三点共线

(3)证明两直线平行的问题:

（三）、课堂小结：

1.向量数乘的定义

ABCD

AB//CD直线AB//直线CD

AB与CD不在同一直线上

2.向量数乘的运算律

3.向量共线基本定理

4.共线基本定理的应用

（四）、作业布置：

《金榜学案》