1.2.3 空间几何体的直观图优质课教案整理

“空间几何体的直观图”的教学设计

一、设计思想

立体几何初步是几何学的重要组成部分，也是新课程改动较大的内容之一。《空间几何体的直观图》是新课程立体几何课程的起始部分，是立体几何课程的重要内容。根据新课程的要求，这一部分的教学，就是加强几何直观的教学，适当进行思辨论证，引入合情推理。基于这样的要求，《空间几何体直观图》一课的设计，注重培养学生的几何作图能力、直观感受能力、抽象概括能力、合情推理能力和空间想象能力为指导思想。整个设计从增强学生参与数学学习的意愿入手，在学生明确学习任务的基础上，有序列地解决问题中展开学习，运用激活、展示、应用和整合策略，以师、生、文本三者间的多维对话为手段，最终达到提高学生参与数学学习能力的目标，取得教学的实效性。整个过程中让学生体验类比的数学思想，提高学生自主学习、分析问题和解决问题的能力，培养学生合作学习的意识。

二、教材分析

与传统的立体几何体系相比，人教A版对立体几何的体系结构作了重大改革。以往立体几何先研究点、直线、平面，再研究由它们构成的几何体，新课程则从对空间几何体的整体观察入手，再研究组成空间几何体的点、直线和平面。这种安排降低了立体几何学习入门难的门槛，强调几何直观，淡化几何论证，可以激发学生学习立体几何的兴趣。本节课《空间几何体的直观图》选自普通高中课程标准实验教科书《数学》人教A版必修2第一章的第二节第二课时，课标对空间几何体的直观图的教学要求为：掌握斜二测画的规则，并且会用它来画一些简单空间几何体的直观图。教材首先让学生从具体实例出发，引导学生由特殊到一般，由具体到抽象，由例题到画法，最后总结出斜二测画法的一般步骤，并应用其画出简单几何体的直观图。在教学时，不能认为这部分的要求是降低了，讲课时就一带而过，而是要领会新课标的意图，加强对学生动手能力的培养，引导学生作图的同时，使其学会类比，学会推理。

三、学情分析

空间几何体的直观图学生并不陌生，前面已经见到了很多，只是没有指出来，但是空间几何体的斜二测画法是新概念，在新教材中并未叙述其原理，而是注重其的应用，关键在于掌握直观图的斜二测画法的步骤方法。直观图的画法其实可归结为确定点的位置的画法，而在平面内确定点的位置，通常是借助于平面直角坐标系，确定了点的坐标就确定点的位置。因此，画水平放置的平面直角坐标系应当是学生首先要掌握的内容。在教学中，要引导学生体会画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，值得注意的是直观图的教学应注意引导学生正确把握图形尺寸大小之间的关系。

四、教学三维目标

1.知识目标：掌握斜二测画法的规则，并且会用它来画一些简单空间几何体的直观图。

2.能力目标：由特殊到一般，由具体到抽象，由例题到画法，倡导学生动手实践，提高学生识图和画图的能力，培养探究精神。

3.情感目标：通过创造情境激发学生学习数学的兴趣和热情，鼓励合作交流、互助交流，培养创新意识。

五、教学重难点

1．教学重点：使学生掌握空间几何体的直观图的画法；能由直观图想象出对应的几何体并能由几何体的三视图画出其直观图。

2．教学难点：绘制空间几何体的直观图时，如何选择合适的坐标系。

六、教学方法与手段

1．教学方法：诱思探究教学法。

2．教学手段：多媒体，

实物模型。

七、教学准备

1．教师教学准备：六边形模型，长方体模型，图片，本节课的教学课件。

2．学生学习准备：课前学生预习过本节课的内容，画图工具。

八．教学基本流程图:

创设情境、引入课题

（由具体情景及经典建筑图片引入课题）

↓

师生合作、形成规律

（通过实例总结归纳斜二测画法方法及步骤）

↓

实战演练、内化规律

（通过练***面图形直观图的斜二测画法）

↓

自主探究、深化双基

（通过实例探求空间几何体的直观图的斜二测画法）

↓

知识迁移、提升能力

（应用斜二测画法画空间组何体的直观图）

↓

知识小结、深化规律

↓

作业布置，巩固知识

九、教学过程设计

（一）

创设情境、引入课题

1

由具体的情境和世界经典建筑物的图片（包括章头图），说明画空间几何体直观图的必要性。并明确几何学研究的内容，几何学在数学研究和数学应用中的地位和作用。

【设计意图】让学生了解画空间几何体的直观图的必要性，由具体情境引出知识，体现了数学来源于实际生活，并为解决实际生活中的问题服务，激发学生探究意识。

（二）

师生合作、形成规律

三视图的直观性较差，要把空间图形画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，通常采用平行投影中斜投影的方法来画空间图形的直观图即斜二测画法，首先我们探究水平放置平面图形的直观图的斜二测画法。

例1、用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图。

【师生活动】教师在桌面上放置一个正六边形模型，提出问题：我们从空间某一点看这个正六边形时，它是什么样子的？如何在平面内画出它的直观图？请学生参阅教材P16例题1，归纳总结水平放置平面图形直观图的斜二测画法，师生共同完成作图过程。

画法：

（1）如图1（1），在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O，在图1(2)中，画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′=45°。

（2）在图1(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′=AD，在y′轴上取M′N′=1MN，以点N′为2中点画B′C′平行于x′轴，并且等于BC；再以M′为中点画E′F′平行于x′轴，并且等于EF。

（3）连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′〔图1(3)〕。

图1 总结规律：（斜二测画法画直观图的具体步骤）

步骤：

（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O。画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面。

（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段。

（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半。

（4）擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图。

【设计意图】通过具体的实例，由教师与学生一起操作共同完成，使学生体会水平放置的平面图形的直观图画法，之后由学生自己归纳出斜二测画法的基本步骤，培养学生的概括总结与抽象思维能力。

（三）实战演练、内化规律

根据上一环节总结出的规律，演练常见平面图形的直观图画法

2

练习1：用斜二测画法画出下列平面图形的直观图。

图（2）矩形

图（1）正三角形

图2 图（3）圆

【师生活动】学生分组自主完成，教师展示成果。教师同时强调立体几何中常用正等测画法画水平放置的圆，教材不做要求掌握，所以在以后常用椭圆模版作圆的直观图。

【设计意图】通过实战演练，让学生进一步掌握水平放置的平面图形直观图的画法，深化规律，培养学生对知识的应用能力和自主探索能力,为空间几何体的直观图画法做铺垫。

(四) 自主探究、深化双基

前面我们用斜二测画法画了水平放置的平面图形的直观图，下面我们利用类比的思想方法来探究空间几何体的直观图的画法。

例2、用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图。

【师生活动】通过教师引导分两步完成，第一步：学生根据前面学***放置的平面图形的直观图画法画出底面矩形的直观图，第二步：教师适当引导点拨，添加z轴,画出侧棱，完成直观图。

画法：

（1）画底面。如图3，画x轴、y轴，使之相交于点O，且∠xOy=45°，以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN=4 cm;在y轴上取线段PQ，使PQ=3cm.分别过点M和N作y轴的平行线，2过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD。

（2）画侧棱。添加z轴。

使∠xOz=90°。过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′。

（3）成图。顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图。

注解：画几何体的直观图时，如果不作严格要求，图形尺寸可以适当选取，用斜二测画法画图的角度也可以自定，但是要求图形具有一定的立体感。

【设计意图】在用斜二测画法画水平放置的平面图形的基础上，探究空间几何体直观图的画法，培养学生利用类比的思想方法分析问题，解决问题。

练习2、用斜二测画法画出下列空间几何体的直观图。

（1）底面是正方形，顶点在底面上的射影是正方形的中心的四棱锥的直观图（尺寸自定）；

3

（2）圆柱的直观图（尺寸自定）；

（3）圆锥的直观图（尺寸自定）。

【师生活动】学生分组合作完成，教师展示成果。特别提醒学生直接用椭圆模板作圆柱、圆锥底面圆的直观图。

【设计意图】通过本题的练习，让学生进一步掌握空间几何体的直观图的画法，深化规律，继续培养学生对知识的应用能力和自主探索能力，同时为例3做铺垫。

（五）知识迁移、提升能力

现在我们已经学习了空间几何体的三视图与直观图，那么如何根据空间几何体的三视图画它的直观图？

例3 如图4，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图。

图4 【师生活动】让学生由三视图想象实际几何体，并判断其结构特征。教师适当引导：由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合。我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥。

画法：（1）画轴。如图5（1），画x轴、y轴、z轴，使∠xOy=45°,∠xOz=90°。

(1)

(2) 图5

（2）画圆柱的两底面。仿照例2画法，画出底面⊙O。在z轴上截取O′，使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′,Oy的平行线O′y′,利用O′x′与O′y′画出底面⊙O′（与画⊙O一样）。

（3）画圆锥的顶点。在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中相应的高度。

（4）成图。连接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图表示的几何体的直观图〔图5(2)〕。

点评：

空间几何体的三视图与直观图有着密切的联系，我们能够由空间几何体的三视图得到它的直观图。同时，也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图。从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出的空间图形。

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【设计意图】进一步巩固斜二测的画法，学会由空间几何体的三视图来画这个几何体的直观图的方法，由此体会空间几何体的直观图与三视图之间的关系，有利于培养学生利用联系的观点认识问题和学生的逆向思维能力。

（六）知识小结、深化规律

（1）在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox、Oy，再作Oz轴，使∠xOy=90°,∠yOz=90°。画出与Ox、Oy、Oz对应的轴O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′=45°，∠y′O′z′=90°,x′O′y′所确定的平面表示水平平面。

（2）已知图形中，平行于x轴、y轴和z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴和z′轴的线段，并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同。

（3）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半。

（4）擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图。

2空间组合体的画法：对于空间组合体，先将其分解为简单的空间几何体，分别作图，再将其组合。

3思想方法：三视图和直观图都是用于表示空间几何体的视图，它们都把空间问题平面化，体现了数学中的化归思想。

（七）作业布置，巩固知识

作业1：教科书21页习题1.2，A组1-4题。

作业2：(思考)

图6所示是一个奖杯的三视图，你能想象出它的几何结构，并画出它的直观图吗？

图6 分析：奖杯的几何结构是最上面是一个球，中间是一个四棱柱，最下面是一个棱台拼接成的简单组合体。

【设计意图】通过课后作业的完成，让学生进一步巩固斜二测的画法，培养理论迁移能力，提升学生的能力。

十一、板面设计

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课题§1.2.3空间几何体的直观图

例题1：图1

一．斜二测画法的步骤

屏

例题2：图2 幕

教学设计说明

1．以生活中的具体情境引入让学生了解画空间几何体的直观图的必要性，体现了数学来源于实际生活，服务于实际生活中的问题的理念，从而有效调动学生学习的积极性，激发探究意识。

2．由空间几何体的三视图画直观图，一方面提高了学生逆向思维能力；另一方面可以培养学生利用联系的观点看问题，从而培养学生观察问题，分析问题，解决问题的能力。

3．保罗•弗莱雷指出：“没有了对话，就没有了交流；没有了交流，也就没有真正的教育”。在新课程背景下的课堂教学本身就是一种对话的过程，就是引导学生与客观世界对话,与他人对话,与自我对话。通过这种对话，形成一种活动性的、合作性的、反思性的学习。本设计在具体的实践过程中，一直贯穿这一思想，每一个定义的得出，每一个问题的解决，都经过生与生，师与生的对话。在这过程中，强化了学生在数学学习过程中的主体地位，突显了自主、合作、探究的学习方式。

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