3.2.1 几个常用函数的导数教案2

选修2-2 1.2.1 几个常用函数的导数+ 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一) 【教学目标】

11．能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝x的导数．

x2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数。

【教法指导】

本节学习重点：能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．

1本节学习难点：能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝x的导数．

x【教学过程】

☆复习引入☆

在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？这就是本节要研究的问题．

☆探索新知☆

探究点一

几个常用函数的导数

思考1

怎样利用定义求函数y＝f(x)的导数？

思考2

利用定义求下列常用函数的导数：

①y＝c，②y＝x，③y＝x2，

1④y＝，⑤y＝x. x思考3

导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率．物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．

(1)函数y＝f(x)＝c(常数)的导数的物理意义是什么？

(2)函数y＝f(x)＝x的导数的物理意义呢？

思考4

在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数．

(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？

(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？

(3)函数y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？[来源:Zxxk.Com]

1思考5

画出函数y＝的图象．根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切x

线方程．

思考6

利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？

探究点二

基本初等函数的导数公式

思考

你能发现8个基本初等函数的导数公式之间的联系吗？

例1

求下列函数的导数：[来源:Zxxk.Com]

π14(1)y＝sin；(2)y＝5x；(3)y＝3；(4)y＝x3；

3x(5)y＝log3x. 跟踪训练1

求下列函数的导数：

11(1)y＝x8；(2)y＝()x；(3)y＝xx；(4)y＝logx. 23例2

判断下列计算是否正确．

π求y＝cos x在x＝处的导数，过程如下：

3πππ3cos′＝－sin ＝－. y′|x＝＝3332跟踪训练2

求函数f(x)＝ln x在x＝1处的导数．

探究点三

导数公式的综合应用

按照基本初等函数的导数公式，我们可以解决两类问题：

(1)可求基本初等函数图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程．

(2)知切线斜率可求切点坐标．

例3

已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB上求一点P，使△ABP的面积最大．

跟踪训练3

点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．

☆课堂提高☆

1．下列结论中正确的个数为(

) 112①y＝ln 2，则y′＝；②y＝2，则y′|x＝3＝－；

2x271③y＝2x，则y′＝2xln 2；④y＝log2x，则y′＝. xln 2A．0

B．1

C．2

D．3 12．过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为(

) x1A.2，2

11，2或－，－2B.22[来源:Z.xx.k.Com]

1－，－2

C.21，－2D.2[来源学§科§网]

3．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是(

) π3πA．[0，]∪[，π)

44π3πC．[，]

44B．[0，π)

ππ3πD．[0，]∪[，] 4244．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________. 5．求下列函数的导数：[来源:Z.xx.k.Com]

－1(1)y＝xx；(2)y＝x7；(3)y＝5；

x(4)y＝ln 3；(5)y＝xx3(x>0)．

155535xx2(5)因为y＝xx，所以y＝x，所以y′＝(x)′＝x＝x2＝.

222352526．已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，求适合f′(x)＋g′(x)≤0的x的值．